冲刺19年高考数学, 典型例题分析153：利用导数研究函数的极值

典型例题分析1：

已知x=1是函数f（x）=ax³﹣bx﹣lnx（a＞0，b∈R）的一个极值点，则lna与b﹣1的大小关系是

A．lna＞b﹣1

B．lna＜b﹣1

C．lna=b﹣1

D．以上都不对

解：f′（x）=3ax²﹣b﹣1/x，

∵x=1是f（x）的极值点，

∴f′（1）=3a﹣b﹣1=0，

即3a﹣1=b，

令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a 2，（a＞0），

则g′（a）=1/a﹣3=（1－3a）/a，

令g′（a）＞0，解得：0＜a＜1/3，

令g′（a）＜0，解得：a＞1/3，

故g（a）在（0，1/3）递增，在（1/3， ∞）递减，

故g（a）_max=g（1/3）=1﹣ln3＜0，

故lna＜b﹣1，

故选：B．

考点分析：

利用导数研究函数的极值．

题干分析：

求出f（x）的导数得到b=3a﹣1，作差令g（a）=lna﹣（b﹣1）=lna﹣3a 2，（a＞0），根据函数的得到求出g（a）的最大值小于0，从而判断出lna和b﹣1的大小即可．

典型例题分析2：

考点分析：

利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

题干分析：

（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出h（x）的最小值，从而求出m的值即可；

（3）根据OA和OB的关系，问题转化为x²/2﹣x²lnx≤m≤x²（e﹣lnx）在[1，e]上恒成立，设p（x）=x²/2﹣x²lnx，根据函数的单调性求出m≥p（1）=1/2，设q（x）=x²（e﹣lnx），根据函数的单调性求出m≤q（1），从而求出m的范围即可．