作者 | 弗里曼·戴森（Freeman Dyson）
译者 | 肖明波 杨光松
编者按：本文是美国普林斯顿高等研究院著名数学物理学家Freeman Dyson为Ivar Ekeland的通俗数学著作《最佳可能的世界：数学与命运》（中译本，2012年，科学出版社）一书写的书评，收入他的书评集《天地之梦》（中译本，2018年，浙江大学出版社）。
Ivar Ekeland，法国数学家，他写了许多通俗数学著作，翻译成中文的，出了本书评谈论的《最佳可能的世界：数学与命运》以外，还有早年出版的《计算出人意料》（史树中、白继祖译，上海教育出版社,1999年）。后者与格雷克的《混沌》一书共同启发了1993年的电影《侏罗纪公园》中的与数学有关的部分。作者主页是
https://www.ceremade.dauphine.fr/~ekeland/index.html
为便于读者阅读，我们补充了一些注释和图片，并修订了少许翻译。感谢浙江大学出版社和杭州电子科技大学肖明波教授授权本号发布。 以下是正文。
——林开亮
《最佳可能的世界：数学与命运》之作者 Ivar Ekeland
伊瓦尔·埃克兰（Ivar Ekeland）有个挪威名字，并在加拿大英属哥伦比亚大学任教，但他这本《最佳可能的世界：数学与命运》 却明白无误地表现出了法国的风格与精神。
由南开大学陈省身数学所龙以明院士校对的中译本，点击封面即可购买
此书对法国数学家眼中过去四百年的历史，快速地过了一遍。数学表现为历史的一种整合原理。埃克兰轻松地从数学切换到物理学、生物学、伦理学和哲学。他讲述的中心人物是法国博学之士彼埃尔·德·莫佩尔蒂（Pierre de Maupertuis，1698–1759）。莫佩尔蒂是个多才多艺的人； 1745年，他在一篇题为《从形而上学原理推导出的运动与静止定律》的论文中，给出了最小作用量原理。最小作用量原理认为：大自然在对各种过程进行安排时，都会最小化一个叫作用（action）的量，它度量的是完成这些过程需要付出的努力。机械运动的作用被定义为，运动物体的质量乘上速度，再乘上运动距离。莫佩尔蒂可以用数学方法证明：如果一组物体在运动时，使得总作用尽可能小，那么这种运动就服从牛顿运动定律。因此，从最小作用量原理可以导出整个牛顿力学。
莫佩尔蒂为自己这一发现感到惊讶。他这样写道：
“对这些如此美丽、如此简洁的定律进行思考，是多么令人心满意足啊！它们也许是造物主实际设立的唯一一组定律，用以支持这个可见世界中的所有现象。”
他进一步将作用与“恶”等同起来，这样最小作用量原理就变成了一个最大化“善”的原理。我们生活的这个宇宙，在上帝可能创造出的宇宙中，是最好的。这条简单的原理将科学和历史与道德准则，紧密结合在一起。数学成了理解人类命运的关键。
伟大的怀疑主义者伏尔泰是莫佩尔蒂的同时代人，他在一本题为《阿卡基亚博士和圣马洛本地人的故事》（The Story of Doctor Akakia and the Native of Saint-Malo）的书中，对莫佩尔蒂的乐观主义哲学进行了驳斥。阿卡基亚（Akakia）在希腊语中是“邪恶缺乏”的意思，而“圣马洛的本地人”指的是莫佩尔蒂。伏尔泰这样写道：“圣马洛的本地人早就染上了一种慢性病，这种病有人叫它philotimia（希腊语，意思是“爱荣誉”），还有人叫它philocratia（希腊语，意思是“爱权力”）。” 伏尔泰的书很畅销，莫佩尔蒂享有盛誉的日子就此结束。莫佩尔蒂去世后，伏尔泰写了一本叫《戆第德》（Candide）的小说，让他过世后也受到嘲讽——在小说中，莫佩尔蒂以乐观主义哲学家邦葛罗斯（Pangloss）的面目出现，此人接二连三地遭受不幸，却毫不动摇地坚信：“在这个尽可能好的世界里，结局好就一切皆好”。
实际上，莫佩尔蒂并不是邦葛罗斯。他一生中只有一小部分时间，表现为乐观主义哲学家。他还是一位杰出的科学家，一位能干的管理者。他年轻时，曾率队远征拉普兰，测量高纬度处地球的形状，并因此而名扬天下。他的测量具有很高的精确度，足以证明地球不是一个完美的球体，而是一个椭球，在两极处因为自转而变得扁平——正如牛顿预测的那样。对牛顿理论进行的这次验证，具有重大的历史意义，因为在此之前，牛顿物理学在法国并没有家喻户晓，更没有得到广泛接受。莫佩尔蒂还在拉普兰学会了滑雪，并带回了法国第一幅滑雪板。在远征拉普兰之后的许多年里，他都是法兰西科学院最活跃的院士之一。普鲁士的弗雷德烈大帝在柏林建立自己的科学院时，邀请莫佩尔蒂担任第一任院长。莫佩尔蒂在柏林度过了他的余生，成功地主持了普鲁士科学院的启动和运作。伏尔泰讨厌弗雷德烈大帝，而莫佩尔蒂与弗雷德烈大帝的友谊，更让伏尔泰有理由憎恨和贬低莫佩尔蒂。
埃克兰的历史概述分成两部分：莫佩尔蒂之前和莫佩尔蒂之后。在莫佩尔蒂之前，两个主要的人物是伽利略和笛卡尔。伽利略利用单摆作为工具，对时间进行了精确的测量，从而开启了现代科学。古希腊科学建立在几何基础上，测量的是空间而不是时间。阿基米德了解静力学，但是不了解动力学。伽利略通过单摆和落体，迈出了从静态自然观到动态自然观，具有决定性意义的一步。他引入了时间这个参量，以便进行数学分析。他说：“自然这本大书是用数学符号写成的。”伽利略这句话，是将世界撬上当今这个科学认识新时代的杠杆。
紧接伽利略之后到来的是笛卡尔；他是一位伟大的数学家、哲学家，但还不算伟大的科学家。笛卡尔打心底里认同伽利略的深刻见解——数学是大自然的语言。他试图仅通过纯粹的推理，从数学定律推导出大自然的法则。他没有听从伽利略的另一句话：大自然通过实验，来回答我们提出的问题。笛卡尔对实验结果不怎么敬重，觉得它们不如逻辑那么可信。他的科学是一种规范科学——告诉大自然它应该如何做，不是实验科学——探究大自然实际上是如何做的。1637年，笛卡尔发表了他的巨著《论正确进行推理和在科学中寻求真理的方法》。他描述了一种非常宽泛的科学方法，足以同时处理物理问题和道德问题。他写道：
“我表明了自然法则是什么样的，而且通过将我的论证仅建立在上帝无限完美的基础之上，我试图证明所有这些我们也许会心存疑虑的法则，试图证明就算上帝创造出多个世界，也不会在哪个世界中观察不到它们。”
埃克兰得出结论说：
笛卡尔的方法“在用于科学时取得了巨大的成功，没有理由认为它在哲学方面，或在试图建立某些指导我们个人与集体生活的原则方面，不会同样有用。”
不幸的是，笛卡尔式研究科学的方法——尽可能少做实验——导致他犯下了严重的错误。他的哲学原理“大自然讨厌真空”，导致他推断出：行星周围的空间充满着巨大的漩涡，即回旋质量；这些漩涡形成的压力将行星限定在它们的轨道上，并推着它们前行。这种行星运动理论在法国得到了普遍接受，被认为比牛顿的万有引力理论还要更胜一筹。笛卡尔还推断出，自转中的地球会产生另一个巨大的漩涡，将地球挤压成美式足球（即橄榄球）的形状。据笛卡尔所言，地球应该是一个两极拉长的椭球，而不是牛顿预测的两极扁平。莫佩尔蒂在卡普兰的测量证明了，牛顿是正确的，笛卡尔是错误的。
埃克兰的历史紧接莫佩尔蒂之后，谈到的是两位数学家——拉格朗日和庞加莱；他们利用莫佩尔蒂的思想，建造了一座经典动力学的宏伟大厦。庞加莱在19世纪末发现了混沌现象，那是动态系统的一个普遍特征，会导致它们的特性在较长的时间里具有不可预知性。他发现几乎所有复杂的动态系统都是混沌的。特别是，具有两颗以上行星的行星系的轨道运动，以及大气或海洋中的流体运动，都很可能是混沌的。混沌现象的发现，为数学也为天文学和气象学，揭开了历史的新篇章。
在讨论完庞加莱之后，埃克兰用了几章的篇幅来讨论生物学和伦理学，在某些地方作了回顾，以便建立与莫佩尔蒂的联系。在生物学方面，进化的指导原则是适者生存。达尔文关于自然选择最适者群体的理论，与莫佩尔蒂关于上帝选择最“善”宇宙的理论类似。达尔文本人知道，适应性与“善”不同，但是其他一些进化论思想家，比如赫伯特·斯宾塞，赞同让适应性与“善”之间的界限变得模糊。达尔文很少使用“进化”这个词，它是斯宾塞引入生物学中的。达尔文更愿意说“产生了变异的后代”，强调变异是随机的而且通常不是进步的这一事实。
在伦理学方面，优化问题更为微妙。埃克兰对伦理学的讨论始于法国启蒙时期的哲学家卢梭，他的思想为1789年的大革命铺平了道路。卢梭相信人生来就是善良聪慧的。只需将他们从政府暴政之下解放出来，他们就能和谐地处理好自己的事务。对自由民意愿反应灵敏的民主政府，会保证每个人都得到公平对待。在大革命将这些思想投入实践检验之前，孔多塞侯爵提出了理论上的几个困难点，他第一次利用数学对人类的行为进行了建模。侯爵发现了一种被称作“孔多塞悖论”的逻辑不一致性，它表明采用“少数服从多数”原则的集会可能会作出逻辑上存在矛盾的决定。比如，假设有三个候选人A、B和C在竞争一个岗位，如果采用“少数服从多数”的投票原则，就有可能出现占多数的一批人选A而不是B，占多数的另一批人选B而不是C，占多数的第三批人选C而不是A。那么投票的结果会取决于投票的顺序。另一位博学的院士谢瓦利埃·德·博尔达，为选举法兰西科学院院士，设计了一个带倾向性的投票系统。博尔达的方案可以避免孔多塞悖论，但是会导致另一种悖论，可被不择手段的政客利用来赢得选举。结果证明，没有哪种投票系统是不存在数学悖论的。当大革命真的来临时，它带来的是四分之一个世纪的死亡与破坏，而不是卢梭承诺的和平与和谐。
为了总结从历史中得到的教训，埃克兰这样写道：
如今我们来到了本次旅行的终点。它始于文艺复兴时的世界，当时基督教价值观还根深蒂固……于是，自然的法则很简单，就是上帝创造世界时所遵循的规则，科学的目的就是从观察中重新发现它们。还有一种更深层的科学，它追寻的是上帝在创造世界时所怀的目的。这是莫佩尔蒂在辉煌时刻自认为已获知的科学，据此可以永久性地调和科学与宗教，因为二者都是对上帝意愿的寻求，不过一个是在物理世界中，另一个是在道德世界中。我们这趟旅行的终点是一个上帝已抽身而去的世界，人类被独自留在一个并非出于其自主选择的世界之上。
在读着这段话时，我越来越为这样一个问题困扰：一个在加拿大工作的挪威人，怎么会对数学和历史形成这样一种典型的法国观点呢。他故事中的角色大多是法国人，数学在他们思想中起的主导作用也是正宗的法国文化。在法国之外的其他地方，数学都不会得到这样的尊重。我查询谷歌后，找到了问题的答案。尽管他的名字是挪威名，但埃克兰是个法国人，在历史悠久的巴黎高等师范学院受的教育，曾是巴黎第九大学的教授，随后还担任过该校的校长，他是这所法国学术机构的一位创始人。他的书大多是用法语写成，然后再翻译成其他语言出版。这本书是根据2000年以法文出版的同名书翻译的，并为英语读者进行了修订和更新。它给我们描绘了一幅关于人类历史和命运的生动画面，这是由法国教育体系培养出的一位资深学术界人士眼中所看到的景象。
Pierre-Gilles de Gennes (1932 – 2007)
至少有一位法国人不同意埃克兰关于世界的观点。皮埃尔·德·热讷是一位才华横溢的法国物理学家，他因为揭示了介于液体与固体之间的胶状物体的特性，而获得了1991年的诺贝尔奖。他称自己研究的这种物质为“软物质”。在因为获得诺贝尔奖而成为法国的民族英雄之后，他收到了铺天盖地的邀请，请他去访问一些高中，去激励学生们追随他的脚步。他接受了这些邀请，并花了一年半的时间，充任旅行中的大导师，向孩子们阐释科学。他非常喜欢与年轻人进行的这些接触，于是就将他的演讲稿加工成了一本书——《软物质与硬科学》。此书已被翻译成英语，并在1996年由斯普林格出版社出版。它以通俗的文字描述了软物质的科学，是如何解释孩子们在日常生活中碰到的普通物质——比如肥皂、胶水、墨水、橡皮和血肉——所具有的特性。德·热讷的演讲面向的是普通孩子，而不是少数可能成为专业科学家的天才人物。他这本书选材精当，布局合理，普通读者读了，也能对科学如何起作用产生一种符合实际的理解。
在他这本书的最后，德·热讷加入了几个章节，瞄准的目标读者不是孩子们，而是他们的老师。其中一个标题为“数学帝国主义”的章节，是对法国教育体系中数学主导地位的抨击。他这样写道：
每当一门科学课程要设置入学考试时，总会毫无例外地变成一种数学练习……为什么要如此以数学为中心呢？实际上，这种数学化的趋势将我们的毕业生——我们未来的工程师——变成了偏瘫患者……他们也许学会了如何掌握某些工具，如何准备报告，但他们在观察能力、动手技能、常识和交际方面，出现了足以影响其发展的弱项。
德·热讷不是一位典型的法国知识分子。他将理论与实验结合在一起，喜欢具体的事物胜过抽象的思想。他在教学和研究中，都在抵制数学帝国主义。
在美国，我们的情况刚好相反。我们的孩子们学习了各种课程，却没有经过多少正规的训练，在数学方面他们大多是仍然处于文盲状态。对我们有益的一件事是提醒大家，不同国家有非常不同的文化，有不同的优缺点。美国人很难想象数学帝国主义，但对法国却是个现实问题。如果美国的孩子们能学更多的数学，而法国的孩子们能少学一点，两个国家都会因此受益的。美国人不应该被德·热讷的抨击误导，以为我们不能从法国学到什么。他雄辩地描述了法国教育体制的不足之处。法国体制最重要的优点就是它所施加的严格训练。每个孩子、每位学生在知识与技能方面，都必须达到严格的标准。德·热讷想当然地假定了这样一个事实：听他演讲的孩子都是受过教育的，都牢牢地掌握了初等数学的内容。美国人应该扪心自问：为什么在美国不能将这种文学与数学修养的标准视为理所当然。
埃克兰并没有完全将非法国人排除在他的叙述之外。他承认了伽利略、牛顿、欧拉、达尔文对现代科学发展的巨大贡献，也承认了历史学家修昔底德和弗朗西斯科·圭契尔迪尼对理解人类命运的巨大贡献。这本书中最具启发性的段落是，对修昔底德和圭契尔迪尼的引用，他们两人都是灾难性战争中的败军之将，然后痛定思痛，撰写历史著作，来教导后代从他们的失败中吸取惨痛的教训。他们两人都看到，悲剧并非起因于无情的命运，而是由人类的愚昧与不幸的偶然事件造成的。要是有更英明的领导人，错误本来可以避免，悲剧也就不会发生。最严重的错误是傲慢的领导过度自信，他们不懂得尊重敌人的技能和机会的多变。在他这本书的美国版中，埃克兰加入了一些评价，对美国政府在最近一些行动中表现出来的傲慢与过度自信进行了尖刻的批评。
如果作者埃克兰是在英美传统下而不是法国传统下受的教育，那么过去四百年的文化史就会写成另一个样子。我称这位假想的埃克兰为阿克兰（Akeland），并假定他强烈偏向英国人[注：作者本人是英国人,所以你可以设想得到，这个Akeland其实的原型可以设想为Dyson本人]，一如埃克兰强烈偏向法国人。对阿克兰来说，现代科学仍然是始于伽利略，但接下来讨论的是弗朗西斯·培根，而不是笛卡尔[注：参加Dyson的著名演讲 Birds and Frogs， 其中培根与笛卡尔是为首的一对青蛙与飞鸟]。
培根比伽利略大3岁，比笛卡尔大35岁。培根将英国科学往实验方向推进，其强度可媲美笛卡尔将法国科学往理论方向的推进。培根对理论评价不高。他写道：“当前使用的逻辑，与其说是用来帮着寻求真理的，不如说是用来弥补错误并使之具有稳定性的，因为它们都建立在我们普遍接受的观念的基础之上。”培根宣扬，在大自然面前保持谦卑，是获致真理的唯一途径：“人，作为大自然的奴仆和诠释者，能做的以及能理解的，也就仅限于他在事实中或在关于自然过程的思考中能观察到的那么多；在此之外的任何事物，他既不能了解，也插不上手。”他对科学的未来抱持宏大的愿景，而对他所处时代的科学则保持低调：“没错，我主要追求的是科学中活跃的分支及其作品，但是我会等待收获的季节，不会试图空采枝叶或强扭生瓜。”他没有活到亲眼看到科学发现开花结果的那一天——那要等到他去世34年后，英国皇家学会在伦敦成立时才开始。他去世时，还没到瓜熟蒂落的时候，笛卡尔也还没有开始空采枝叶。
在阿克兰的历史中，体现18世纪启蒙思想的人会是本杰明·富兰克林，而不是莫佩尔蒂。将我们领进现代世界的不是数学家朗格朗日和庞加莱，而是19世纪的英国物理学家法拉第和麦克斯韦，他们确立了电与磁的基本定律。阿克兰描述的主要人物——培根、富兰克林、法拉第和麦克斯韦，埃克兰完全没有提及。同样地，阿克兰也不会提及笛卡尔、莫佩尔蒂、朗格朗日和庞加莱。他的主题会是18世纪出现的电学，并将它当作科学的增长点。电学纯粹是培根式科学的产物，得自于对大自然出乎意料的观察，而不是得自于数学推导。
埃克兰的书将数学最优化置于历史的核心。最优化意味着在一组可选项中选出最佳项。数学最优化的意思是，使用数学来作出这种选择。莫佩尔蒂是历史中的中心人物，因为他认为宇宙在数学上是最优的。阿克兰的书所强调的刚好相反。对阿克兰而言，事物比定理重要，实验比数学重要。启蒙时期的伟大科学成就是对电学进行的实验研究。从牛顿去世到分子生物学勃兴之间的二百年里，电学都是驱动科学发展的力量。电学还拓展了科学的范畴，使之从符合逻辑的机械式牛顿宇宙，进入多彩多姿的现代世界。阿克兰的书名借用的是，生物学家古尔德构想出的一条哲学原理：“我们是历史的后代，必须在这个最为多样而有趣的可感知宇宙中，铺建我们自己的道路。”[注：这是Dyson本人信奉的名言。] 阿克兰确定最大化多样性为宇宙的指导原则，而不是数学优化。他的书名是《各种可能的世界中最有趣的一个：电学与命运》。
富兰克林不懂电学理论。他那个时代的理论科学是牛顿力学与万有引力，而电学在这个领域之外。富兰克林对电进行探索，因为那是大自然的一部分，虽然没有人弄得明白。对电，他没有不懂装懂，而是学着怎样控制它。他发明的避雷针让他名闻天下，让他去法国生活时受到了热烈的欢迎。他到法国去得太晚，没能碰见莫佩尔蒂。要是他们见了面，他们会发现两人共同之处很多。富兰克林只比莫佩尔蒂小8岁。他们都是优秀的科学家，还是能干的组织者。富兰克林在费城创建了美国哲学学会，而莫佩尔蒂在柏林创建了普鲁士科学院。两人都是启蒙时代的绅士，都是那个旅行又缓慢又辛苦时代的冒险者和旅行者。两人在性情方面都是乐观主义者，但都不是邦葛罗斯那种人。他们两人唯一的重大差别在于，莫佩尔蒂是个数学家，而富兰克林是个实验科学家。
在埃克兰与阿克兰的历史中，接下来的一对人物是，法国的拉格朗日和英国的法拉第。他们生活在不同的世纪，而且彼此间的共同之处也不及莫佩尔蒂与富兰克林间那么多。他们是笛卡尔式科学家与培根式科学家的极端代表。法拉第对电与磁、化学与冶金学等新世界进行了探索，抵达的未知领域远远超出了当时的理论理解。拉格朗日（1736–1813）开创了分析力学这门科学，这是一个抽象的数学框架，牛顿力学只是其中的一个特例。他们都是各自领域的大师，但他们的领域却大相径庭。拉格朗日将牛顿的思想统一成单一的体系，让这个世界变得更简单了。法拉第通过一系列出乎意料的新发现，让这个世界变得更复杂了。拉格朗日是个整合者，而法拉第是个让世界更加多样化的人。尽管拉格朗日的巨著出版于法拉第出生之前三年，法拉第从未读过它，也从未觉得有必要读。法拉第所需要的数学，不过是初等算术和一点代数。
埃克兰和阿克兰的历史从莫佩尔蒂与富兰克林开始分流，在拉格朗日和法拉第这里达到最大的分歧。到了最后这对人物——庞加莱和麦克斯韦，两种历史又开始合流。庞加莱（1854–1912）是一个对多样性有偏好的数学家。他对电磁学这门新科学和力学这种旧科学都有兴趣，他在恒星与行星的动力学特性中发现了各种混沌运动，这是拉格朗日从未梦想过的。麦克斯韦（1831–1879）是一个热衷于统一的物理学家。从法拉第的观察结果入手，他发现了一组方程，可以将电、磁与光统一成一种像拉格朗日的力学那样优雅的数学结构。当庞加莱对麦克斯韦方程的对称群——现在被物理学家称为庞加莱群——进行探索时，埃克兰和阿克兰历史的合流就完成了。麦克斯韦和庞加莱一道为爱因斯坦进入相对论的新世界铺平了道路。
真实的埃克兰和虚构的阿克兰给了我们一个简单的教训。他们分别为我们提供了一种歪曲的、带偏见的历史观。现代科学的真实历史必须同时包括这两个方面。现代科学在17世纪开始快速的发展，选定的目标和方法不只是来自笛卡尔，也不只是来自培根，而是来自笛卡尔思想与培根思想的共同作用。物理科学历史上最伟大的人物——牛顿，就是笛卡尔与培根的一种交融。他在研究光学时是培根式的——他将白光分解成单色光，并发明了反射式望远镜。他写作《自然哲学之数学原理》时是笛卡尔式的——他从一系列符合逻辑的数学命题除非，推导出描述这个世界的体系。他明智地使用笛卡尔式的论证，加上行星运动的培根式知识，推翻了笛卡尔的太空漩涡宇宙学。
在真实的科学史中，数学与电学对人类的贡献同样都是巨大的。我们所处的世界也许是所有可能的世界中最好的一个，也许是最有意思的一个。两种可能性都有可能。我们的命运取决于我们还没有作出的决定，也许与数学和电学的关系还没有与生物学——尤其是我们对人类大脑的初步认识——的关系那么密切。
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