递推数列求通项的几种常见方法

一般地，若数列{a_n}的连续若干项之间满足递推关系a_n= f( a_n-1 ，a_n-2 ，…，a_n-k)由这个递推关系及k个初始值确定的数列，叫做递推数列。递推数列的重点、难点问题是求通项。求递推数列通项的方法较多、也比较灵活，基本方法如：迭加法；迭乘法；转化为等差、等比数列求通项法；归纳——猜想——证明法等，其中主要的思路是通过转化为等差数列或等比数列来解决问题。

一、型如a_n+1=a_n+f(n)可用迭加法求通项

例1 已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n+2n，求通项a_n。

解：由递推公式得 a_n-a_n-1=2(n-1)

a_n-1-a_n-2=2(n-2)

……

a₃-a₂=2·2

a₂-a₁=2·1 

以上（n-1）个等式相加得a_n-a₁=2[(n-1)+(n-2)+ …+2+1]=2· =n(n-1)

 又a₁=1  ∴a_n=1+n(n-1)=n²-n+1

注：一般地，f(n)可分解成等差数列、等比数列求和（或常用的数列和公式，如1²+2²+3²+…+ n²= 等）。

二、型如a_n+1=f(n)a_n(f(n)不是常数)可用迭乘法求通项

例2 已知数列{a_n}中，a₁= ，S_n=n²a_n，求通项a_n。

解：当n≥2时 a_n=S_n- S_n-1=n²a_n- (n-1)²a_n-1

     ∴            ……            以上 (n-1)个等式相乘得

    a_n= (n≥2)

  ∵ a₁= 适合上式    ∴a_n= 。

注：一般地，数列a_n+1=f(n)a_n，f(n)是分式的形式，且是n的关系式。

三、型如a_n+1=pa_n+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等

(1) f(n)= q (q为常数)，可转化为a_n+1+k=p(a_n+k)，得{ a_n+k }是以a₁+k为首项，p为公比的等比数列。

例3 已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=3a_n+2，求通项a_n。

解：设a_n+1+k=3(a_n+k)，得a_n+1=3a_n+2k与a_n+1=3a_n+2比较得k=1   ∴ 原递推式可变为a_n+1+1=3(a_n+1) ∴ =3     ∴ {a_n+1}是一个以a₁+1=2为首项，以3为公比的等比数列  

∴a_n+1=2·3^n-1  ∴ a_n=2·3^n-1-1。

注：一般地，对递推关系式a_n+1=pa_n+q (p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成

 则{ }成等比数列，实际上，这里的 是特征方程x=px+q的根。

(2) f(n)为等比数列，如f(n)= qⁿ (q为常数) ，两边同除以qⁿ，得 ，令b_n= ，可转化为b_n+1=pb_n+q的形式。

例4 已知数列{a_n}中，a₁= ， a_n+1= a_n+（ ）ⁿ⁺¹，求a_n的通项公式。

解：a_n+1= a_n+（ ）ⁿ⁺¹ 乘以2ⁿ⁺¹ 得  2ⁿ⁺¹a_n+1= (2ⁿa_n)+1 令b_n=2ⁿa_n  则 b_n+1= b_n+1

(解法同例3) 易得 b_n=   即  2ⁿa_n=

∴  a_n=

(3) f(n)为等差数列

例5已知已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1+a_n=3+2 n，求a_n的通项公式。

解：∵  a_n+1+a_n=3+2 n，a_n+2+a_n+1=3+2(n+1)，两式相减得a_n+2-a_n=2

因此得，a_2n+1=1+2(n-1), a_2n=4+2(n-1),  ∴ a_n= 。

注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。

四、型如a_n+1= (p、q、r、s为常数)可构造为a_n+1=pa_n+q类型

例6 已知数列{a_n}中，a₁=4，且a_n+1= ，求通项a_n。

解： ∵  a_n+1-1= -1=     a_n+1+2= +2=  

于是 =   从而有{ }成等比数列。

故有 = （ ）^n-1 = （ ）^n-1    

 ∴ (n N)。

注：一般地，设α、β是递推关系的a_n+1= (p、q、r、s为常数)的特征方程x= ( p≠0,rq-ps≠0)的两根。（1）若α≠β，可令b_n= ，则{b_n}成等比数列；（2）α=β，可令b_n= ，则{b_n}成等差数列。

五、型如a_n+2=pa_n+1+qa_n(p、q为常数)变形为a_n+2-αa_n+1=β(a_n+1-αa_n)可转化为等比数列

例7 已知{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+2= a_n+1+ a_n，求a_n的通项公式。

解：设a_n+2-αa_n+1=β(a_n+1-αa_n)，变形得a_n+2=（α+β）a_n+1-αβa_n，与a_n+2= a_n+1+ a_n比较得   ∴   或    ∴a_n+2- a_n+1=- (a_n+1- a_n)或a_n+2+ a_n+1=a_n+1+ a_n

得数列{a_n- a_n-1}是以1为首项，公比为- 的等比数列，（或得数列{a_n+  a_n-1}是以 为首项，公比为1的等比数列）即a_n- a_n-1=（- ）^n-1 或a_n+  a_n-1=   (n≥2)

（解法同例1或例2）易得 a_n=   ∵ a₁=1适合上式

∴   a_n=

注：一般地，若ap_n+2+bp_n=1+cp_n=0可等价地改写p_n+2-αp_n+1=β(p_n+1-αp_n)或p_n+2-βp_n+1=α(p_n+1-βp_n)两种形式，则{ p_n+1-αp_n }以及{ p_n+1-βp_n }都成等比数列，分别求通项后再联立解出p_n即可。这里α、β是方程ax²+bx+c=0的两个不等实根。也可用下法求p_n：设α、β是递归关系ap_n+2+bp_n=1+cp_n=0的特征方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根。（1）当α≠β时，p_n=Aαⁿ+Bβⁿ；（2）当α=β时，p_n=(An+B)αⁿ。其中常数A，B由初始值用待定系数法决定。