幂的运算方法总结

作为整式乘除的前奏，幂的运算看似非常简单，实际运用起来却灵活多变。不过，只要熟悉运算的一些基本方法原则，问题就迎刃而解了。而且通过这些方法原则的学习，不但能使我们熟悉幂的运算，还可得到全面的思维训练，现在对此做一探索。

幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：

①a^m×aⁿ=a^m+n     ②(a^m)ⁿ=a^mn   

③(ab)^m=a^mb^m     ④a^m÷aⁿ=a^m-n

只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。

问题1

已知a⁷a^m=a³a¹⁰，求m的值。

思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。

方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。

方法原则：可用公式套一套。

但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。

问题2

已知xⁿ=2,yⁿ=3,求(x²y)³ⁿ的值。

思路探索：

(x²y)³ⁿ中没有xⁿ和yⁿ，但运用公式3就可将(x²y)³ⁿ化成含有xⁿ和yⁿ的运算。

　　因此可简解为，(x²y)³ⁿ =x⁶ⁿy³ⁿ=(xⁿ)⁶(yⁿ)³=26×33=1728

方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。

方法原则：整体不同靠一靠。

然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？

问题3

已知a³=2,a^m=3,aⁿ=5，求a^m+2n+6的值。

思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。

简解：a^m+2n+6=a^ma²ⁿa⁶=a^m(aⁿ)²(a³)²=3×25×4=300

方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。

方法原则：逆用公式倒一倒。

当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？

问题4

已知2^2x+3－2^2x+1=48，求x的值。

思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。

简解：

2^2x+3－2^2x+1

=2^2x×2³－2^2x×2¹

=8×2^2x－2×2^2x

=6×2^2x=48  

∴2^2x=8  ∴2x=3  ∴x=1.5

方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。

问题5

已知6^4m+1÷2ⁿ÷3^3m=81,求正整数m、n的值。

思路探索：幂的底数不一致使运算没法进行，怎样把它们变一致呢？把常数底数都变成质数底数就统一了。

简解：

6^4m+1÷2ⁿ÷3^3m 

=2^4m+1×3^4m+1÷2ⁿ÷3^3m

=2^4m+1-n×3^m+1

=81=3⁴

∵m、n是正整数   

∴m+1=4,4m+1－n=0

∴m=3,n=13

方法思考：冪的底数是常数时，通常把它们分解质因数，然后按公式3展开，即可化成同底数冪了。

问题6

已知2^a=3,2^b=6,2^c=12，求a、b、c的关系。

思路探索：求a、b、c的关系，关键看2^a、2^b、2^c的关系，即3、6、12的关系。6是3的2倍，12是6的2倍，所以2^c=2×2^b=4×2^a,由此可求。

简解：

由题意知

2^c=2×2^b=4×2^a

∴2^c=2^b+1=2^a+2

∴c=b+1=a+2

方法思考：底数是相同的常数时，通常把冪的值同乘以适当的常数变相同，然后比较它们的指数。

方法原则：系数质数和指数，常数底数造一造。

综合用到以上方法就更需要引起注意。

问题7

已知2^x=m,2^y=n,求2^2x+3y+1的值。

思路探索：要求的代数式与已知距离甚远，考虑逆用公式将其变成已知的代数式的形式。

简解：

2^2x+3y+1

=2^2x×2^3y×2¹

=(2^x)²×(2^y)³×2

=m²n³×2

=2m²n³

方法思考：综合运用化质数、逆用公式和整体代人的方法。

问题8

已知a=2⁴⁴,b=3³³,c=4²²，比较a、b、c的大小。

思路探索：同底数幂比较大小观察指数大小即可，底数不能变相同的，只好逆用公式将指数变相同，比较底数大小了。

简解：

a=2⁴⁴=2^4×11=（2⁴）¹¹=16¹¹,

b=3³³=3^3×11=（3³）¹¹=2711

c=4²²=4^2×11=1611

∴a=c＜b

方法思考：化同指数冪是比较底数不能化相同的冪的又一种方法。

思考归纳

幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，不但会直接套用公式，还要能逆用。其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解。第三，底数是常数时通常将其化成质数积的乘方的形式，有常数指数的通常求出其值，作为该项的系数。第四，底数不同而指数可变相同的可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘。

一、同底数幂的乘法

1、同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

公式表示为：a^m·aⁿ＝a^m＋n（m，n都是正整数）

2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘

注意点：

（1）  同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.

（2）  在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.

简单练习

一、选择题

1. 下列计算正确的是(    )

A.ａ²+ａ³=ａ⁵       

B.ａ²·ａ³=ａ⁵     

C.3^m+2^m=5^m    

D.ａ²+ａ²=2ａ⁴

2. 下列计算错误的是(    )

A.5ｘ²-ｘ²=4ｘ²       

B.ａ^m+ａ^m=2ａ^m      

C.3^m+2^m=5^m   

D.ｘ·ｘ^2m-1= ｘ^2m

3. 下列四个算式中

①ａ³·ａ³=2ａ³   

②ｘ³+ｘ³=ｘ⁶    

③ｂ³·ｂ·ｂ²=ｂ⁵     　　　　  

④p²+p²+p²=3p²  正确的有(   )

A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是(    )

A.100×10²=10³   B.1000×10¹⁰=10³   

C.100×10³=10⁵   D.100×1000=10⁴             

二、填空题

1. ａ⁴·ａ⁴=     ；ａ⁴＋ａ⁴=     。     

2、  b²·b·b⁷=     。

3、10³·     =10¹⁰          

4、(-ａ)²·(-ａ)³·ａ⁵=     。

5、ａ⁵·ａ^{(     )}=ａ²·(    ) ⁴=ａ¹⁸ 

6、(ａ+1)²·(1+ａ)·(ａ+1)⁵=     。

中等练习：

1、 (-10)³·10+100·(-10²)的运算结果是(    )

  A.10⁸  B.-2×10⁴  C.0  D.-10⁴   

2、(ｘ-ｙ)⁶·(ｙ-ｘ)⁵=     。    

3、10^m·10^m-1·100=     。            

4、a与b互为相反数且都不为0，n为正整数，则下列两数互为相反数的是(    )

A.ａ^2n-1与-ｂ^2n-1     

B.ａ^2n-1与ｂ^2n-1     

C.ａ²ⁿ与ｂ²ⁿ     

D.ａ²ⁿ与ｂ²ⁿ 

5. ※计算(ａ-ｂ)ⁿ·(ｂ-ａ)^n-1等于(    )

A.(ａ-ｂ)^2n-1    

B.(ｂ-ａ)^2n-1     

C.＋(ａ-ｂ)^2n-1  

D.非以上答案

6. ※ｘ⁷等于(    )

A.(-ｘ² )·ｘ⁵   

B、(-ｘ²)·(-ｘ⁵)  

C.(-ｘ)³·ｘ⁴    

D.(-ｘ)·(-ｘ)⁶

7、解答题

(1) –ｘ²·(-ｘ³)                    

(2) –ａ·(-ａ)²·ａ³ 

(3) –ｂ²·(-ｂ)²·(-ｂ)³        

(4) ｘ·(-ｘ²)·(-ｘ)²·(-ｘ³)·(-ｘ)³

(5)x^4－m ·x^4+m·(-x)

(6) x⁶·(-x)⁵-(-x)⁸ ·(-x)³           

(7)  -ａ³·(-ａ)⁴·(-ａ)⁵

8. 计算(-2)¹⁹⁹⁹+(-2)²⁰⁰⁰等于(     )

A.-2³⁹⁹⁹  B.-2   C.-2¹⁹⁹⁹  D.2¹⁹⁹⁹ 

9. 若ａ²ⁿ⁺¹·ａ^x=ａ³ 那么x=        

二、幂的乘方与积的乘方

1、幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

公式表示为：（a^m）ⁿ＝a^mn（m，n都是正整数）.

2、积的乘方

积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

公式表示为：（ab）ⁿ＝aⁿbⁿ（n为正整数）.

注意点：

（1）  幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数.

（2）  指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开.

（3）  运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果;

（4）  运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式.