38.推理调整
例如,1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题8:一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么,这个自然数是多少?
由奇数×奇数=奇数,知这个自然数是两个奇数的乘积。
如果其中一个是11,乘积的十位数字将是百位与个位数字之和、必为偶数。因此,两奇数都至少是13。
所求数只能是13×15=195。
39.想 顺 推
例如,用1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字,能组成多少个九位数?
由“1”,组成1个数;
由“1、2”,可组成12、21,2个数;
由“1、2、3”,可组成123、132、231、213、312、321,6个数。
可见:
由两个一位数组成的两位数的个数=2×1:由三个一位数组成的三位数的个数=3×2。依此类推
40.想 倒 推
倒推是常用的数学思维方法,思考途径是从题目的问题出发,倒着推理,逐步靠拢已知条件,直到解决问题。有些题用此法解,能化难为易。
例1 一个数扩大3倍后再增加100,然后缩小2倍后再减去36得50,求这个数。
从最后的差50倒推。减前是50+36=86,缩小2倍前是86×2=172,增加前是172-100=72。扩大3倍前是72÷3=24。即这个数是:
[(50+36)× 2-100]÷3=24。
例2 某种细菌每小时可增长1倍,现有一批这样的细菌,10小时可增长100万个。问增长到25万个时,需要几小时?
由“细菌每小时增长1倍”,知增长到25万个后经过1小时增长到25×2=50(万个),再过1小时就可增长到50×2=100(万个)。从25万个增长到100万个要用1+1=2(小时),所以增长到25万个需
10-2=8(小时)
41.推想与推断
例如,武汉市武昌区数学竞赛题:3/17的分子和分母同时加上什么数,
因为一个分数的分子与分母同时加上一个数的前后、分母与分子的差17
分母同时扩大14÷2=7(倍),就是
加上的数是35-17=18或21-3=18。
42.巧 归 结
例如,选择“+、-、 ×、 ÷、( )”中的符号,把七个5连成算式,得数为 0、1、2、3、…10。
5的个数是7以上的都可归结为7个讨论。
此题解法很多,这里只介绍一种。
由5÷5=1,
5÷5+5÷5=2,
5=5,
知问题可变为,怎样用运算符号把1、2、5连成结果分别等于0、1、2、…10的算式。
1、2、5三个数不能通过四则运算得0和1,但5÷5=1、5-5=0、0乘任何数都得0,易得到
0=(5-5+5-5+5-5)×5
1=5÷5+5×(5-5+5-5)
2=5-(5÷5+5÷5)-5÷5=5-2-1
3=5×(5÷5)-(5÷5+5÷5)=5×1-2
4=5+5÷5-(5÷5+5÷5)=5+1-2
5=5×(5÷5+5÷5)-5÷5=5×(2-1)
6=5+(5÷5+5÷5)-5÷5=5+2-1
7=5×(5÷5)+(5÷5+5÷5)=5×1+2
8=5+(5÷5-5÷5)+5÷5=5+2+1
9=5×(5÷5+5÷5)-5÷5=5×2-1
10=5×(5÷5+5÷5)×(5÷5)=5×2×1
若5的个数是8,则
0=5-5+5-5+5-5+5-5
1=5÷5+5-5+5-5+5-5
10=5×2×1
=5×(1+1)×1
=5×5÷5+5×5÷5×5÷5
9=5×2-1
=5×(1+1)-1
=5×5÷5+5×5÷5-5÷5
5=5×(2-1)
=5×2-5×1
=5×(5÷5+5÷5)-5×5÷5
由5÷5=1
5-(5+5+5)÷5=2
5=5
知其余各式的讨论,和5的个数为7时相同。即
8=5+2+1
=5+5-(5+5+5)÷5+5÷5
7=5×1+2
=5×5÷5+5-(5+5+5)÷5
6=5+2-1
=5+5-(5+5+5)÷5-5÷5
4=5+1-2
=5+5÷5-5+(5+5+5)÷5
3=5×1-2
=5×5÷5-5+(5+5+5)÷5
2=5-2-1
=5-5+(5+5+5)÷5-5÷5
显然,若5的个数是9,只要在5的个数是7的各式后面加上(5-5)。如
10=5×(5÷5-5÷5)×(5÷5)+(5-5)若5的个数是7+2n(n为自然数),只要在5的个数是7的各式,后面加上n个(5-5)。
若5的个数是10,只要在5的个数是8的各式,后面加上一个(5-5)。
若5的个数是8+2n,则只要在5的个数是8的各式,后面加上n个(5-5)。
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