绝密★启用前
理科数学
本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
A.
2.如图,正方形
A.
C.
3.设有下面四个命题
其中的真命题为
A.
4.记
A.1 B.2 C.4 D.8
5.函数
A.
6.
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A.10
B.12
C.14
8.右面程序框图是为了求出满足
A.
B.
C.
D.
9.已知曲线
A.把
B.把
C.把
D.把
10.已知
A.16 B.14 C.12 D.10
11.设
A.
C.
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是
A.440 B.330 C.220 D.110
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2b |= .
14.设
15.已知双曲线
16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥。当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求
(2)若
18.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,
19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
经计算得
用样本平均数
附:若随机变量
20.(12分)
已知椭圆C:
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
21.(12分)
已知函数
(1)讨论
(2)若
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(1)若a=−1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数
(1)当
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C
7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12.A
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
解:(1)
由题设得
由正弦定理得
故
(2)
由题设及(1)得
所以
由题设得
由余弦定理得
故
18.(12分)解:
(1)由已知
由于
又
由(1)可知,
可得
以
由(1)及已知可得
所以
设
可取
设
可取
则
所以二面角
19.(12分)解:
(1)抽取的一个零件的尺寸在
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在
(ii)由
剔除
因此
剔除
因此
20.(12分)解:
(1)由于
又由
因此
故
(2)设直线
如果
则
从而可设
由题设可知
设
而
由题设
即
解得
当且仅当
所以
21.(12分)解:
(1)
(i)若
(ii)若
当
当
所以
(2)(i)若
(ii)若
① 当
② 当
③ 当
又
设正整数
则
由于
综上,
22.解:
(1)曲线
当
由
从而
(2)直线
当
当
综上,
23.解:
(1)当
当
当
当
所以
(2)当
所以
又
所以
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