2017年普通高等学校招生全国统一考试（理科数学）2卷

注意事项：

    1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀

 

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.

（   ）

A．

          B．

           C．

            D．

2. 设集合

，

．若

，则

（  ）

A．

         B．

            C．

           D．

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ）

A．1盏             B．3盏            C．5盏              D．9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（   ）

A．

            B．

             C．

            D．

 

5. 设

，

满足约束条件

，则

的最小值是（   ）

A．

             B．

               C．1                D．9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（   ）

A．12种             B．18种              C．24种            D．36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（   ）

A．乙可以知道四人的成绩                    B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩                D．乙、丁可以知道自己的成绩

8. 执行右面的程序框图，如果输入的

，则输出的

（   ）

A．2

B．3

C．4

D．5

9. 若双曲线

（

，

）的一条渐近线被圆

所截得的弦长为2，则

的离心率为（  ）

A．2                B．

C．

               D．

10. 已知直三棱柱

中，

，

，

，则异面直线

与

所成角的余弦值为（   ）

A．

              B．

             C．

           D．

11. 若

是函数

的极值点，则

的极小值为（  ）

A.

                B.

              C.

             D.1

12. 已知

是边长为2的等边三角形，

为平面

内一点，则

的最小值是（  ）

A.

              B.

              C.

                  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为

，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取

次，

表示抽到的二等品件数，则

         ．

14. 函数

（

）的最大值是          ．

15. 等差数列

的前项和为

，

，

，则

         ．

16. 已知

是抛物线

：

的焦点，

是

上一点，

的延长线交

轴于点

．若

为

的中点，则

           ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

的内角

所对的边分别为

，已知

，

（1）求

；

（2）若

，

的面积为2，求

．

18.（12分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：

（1）   设两种养殖方法的箱产量相互独立，记

表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计

的概率；

（2）   填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

 

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法

 

（3）   根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P（ ）	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

 

 

 

 

 

19.（12分）

如图，四棱锥

中，侧面

为等比三角形且垂直于底面

，

 

是

的中点.

（1）证明：直线

 平面PAB

（2）点

在棱

上，且直线

与底面

所成角为

 ，求二面角

的余弦值

20. （12分）

设

为坐标原点，动点

在椭圆

：

上，过

做

轴的垂线，垂足为

，点

满足

.

（1）求点

的轨迹方程；

（2）设点

在直线

上，且

.证明：过点

且垂直于

的直线

过

的左焦点

.

21.（12分）

已知函数

，且

。

（1）求

；

（2）证明：

存在唯一的极大值点

，且

.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系

中，以坐标原点为极点，

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

的极坐标方程为

．

（1）

为曲线

上的动点，点

在线段

上，且满足

,求点

的轨迹

的直角坐标方程；

（2）设点

的极坐标为

，点

在曲线

上，求

面积的最大值．

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知

，证明：

（1）

；

（2）

．

2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2

理科数学参考答案

一、选择题：

1. D    2.C    3. B    4. B    5. A    6.D

7. D    8.B    9. A    10. C   11. A   12.B

二、填空题：

13. 1.96        14.1       15.

       16.6

三、解答题：

17.（12分）解：

（1）由题设及

得

，故

上式两边平方，整理得

解得

（2）由

，故

又

由余弦定理及

得

所以

18.（12分）

解：

（1）记

表示事件“旧养殖法的箱产量低于50

”，

表示事件“新养殖法的箱产量不低于50

”.

由题意知

旧养殖法的箱产量低于50

的频率为

，

故

的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50

的频率为

，

故

的估计值为0.66

因此，事件

的概率估计值为

（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

	箱产量	箱产量
旧养殖法
新养殖法

由于

，故有

的把握认为箱产量与养殖方法有关。

（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于

的直方图面积为

，

箱产量低于

的直方图面积为

，

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

19.（12分）

解：

（1）取

的中点

，连接

，

因为

是

的中点，

所以

，

由

得

，

又

，

所以

，

四边形

是平行四边形，

，

又

平面

，

平面

，

故

平面

（2）由已知得

，以

为坐标原点，

的方向为

轴正方向，

为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系

，则

，

设

，则

因为

与底面

所成的角为

，而

是底面

的法向量，

所以

，

即

                          ①

又

在棱

上，设

，则

                       ②

由①，②解得

（舍去），

所以

，从而

设

是平面

的法向量，则

  即

所以可取

，

于是

因此二面角

的余弦值为

20. （12分）

解：

（1）设

，

，

则

由

得     

因为

在

上，所以

因此点

的轨迹方程为

（2）由题意知

设

，则

，

由

得

又由（1）知

，故

所以

，即

.

又过点

存在唯一直线垂直于

，

所以过点

且垂直于

的直线

过

的左焦点

.

21.（12分）

解：

（1）

的定义域为

设

，则

等价于

因为

，

故

，

而

，

得

若

，则

当

时，

单调递减；

当

时，

单调递增

所以

是

的极小值点，故

综上，

（2）由（1）知

设

，则

当

时，

；当

时，

.

所以

在

单调递减，在

单调递增.

又

，所以

在

有唯一零点

，在

有唯一零点1，且当

时，

；当

时，

；当

时，

.

因为

，所以

是

的唯一极大值点.

由

得

，故

.

由

得

.

因为

是

在

的最大值点，由

得

.

所以

（二）选考题：

 22.解：

（1）设

的极坐标为

，

的极坐标为

.

由题设知

由

得

的极坐标方程

因此

的直角坐标方程为

（2）设点

的极坐标为

.

由题设知

，

于是

面积

.

当

时，

取得最大值

所以

面积的最大值为

23.解：

（1）

（2）因为

所以

，因此

.