第3章 中值定理与导数的应用
内容概要
名称
主要内容（3.1、3.2）
3.1
中值
定理
名称
条件
结论
罗尔中值定理
：（1）在
上连续；（2）在
内可导；（3）
至少存在一点
使得
拉格朗日中值定理
：（1）在
上连续；（2）在
内可导
至少存在一点
使得
柯西中值定理
、
：（1）在
上连续，在
内可导；（2）在
内每点处
至少存在一点
使得
3.2
洛必达
法则
基本形式
型与
型未定式
通分或取倒数化为基本形式
1）
型：常用通分的手段化为
型或
型；
2）
型：常用取倒数的手段化为
型或
型，即：
或
；
取对数化为
基本形式
1）
型：取对数得
，其中
或
；
2）
型：取对数得
，
其中
或
；
3）
型：取对数得
，
其中
或
。
课后习题全解
习题3-1
★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值
。
（1）
；
（2）
。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程
，得到的根
便为所求。
解：（1）∵
在
上连续，在
内可导，且
，
∴
在
上满足罗尔定理的条件。令
得
即为所求。
（2）∵
在
上连续，在
内可导，且
，
∴
在
上满足罗尔定理的条件。令
，得
即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数
在区间
上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程
，若得到的根
则可验证定理的正确性。
解：∵
在
连续，在
内可导，∴
在区间
上满足拉格朗日中值定理的条件。又
，
，
∴要使
，只要：
，
∴
，使
，验证完毕。
★3.已知函数
在区间
上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的
。
解：要使
，只要
，从而
即为满足定理的
。
★★4.试证明对函数
应用拉格朗日中值定理时所求得的点
总是位于区间的正中间。
证明：不妨设所讨论的区间为
，则函数
在
上连续，在
内可导，从而有
，即
，
解得
，结论成立。
★5.函数
与
在区间
上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值
。
知识点：柯西中值定理。
思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程
，得到的根
便为所求。
解：∵
及
在
上连续，在
内可导，且在
内的每一点处有
，所以满足柯西中值定理的条件。要使
，只要
，解得
，
即为满足定理的数值。
★★★6.设
在
上连续，在
内可导，且
。求证：
存在
，使
。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：从
结论出发，变形为
，构造辅助函数使其导函数为
， 然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。
证明：构造辅助函数
，
根据题意
在
上连续，在
内可导，且
，
，从而由罗尔中值定理得：存在
，使
，即
。
注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使
，只要
∴只要设辅助函数
★★7.若函数
在
内具有二阶导函数，且
，证明：在
内至少有一点
，使得
。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：连续两次使用罗尔中值定理。
证明：∵
在
内具有二阶导函数，∴
在
、
内连续，
在
、
内可导，又
，
∴由罗尔定理，至少有一点
、
，
使得
、
；又
在
上连续，在
内可导，
从而由罗尔中值定理，至少有一点
，使得
。
★★8.若4次方程
有4个不同的实根，证明：
的所有根皆为实根。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。
证明：令
则由题意，
有4个不同的实数零点，分别设为
，
∵
在
、
、
上连续，在
、
、
上可导，
又
，
∴由罗尔中值定理，至少有一点
、
、
使得
，即方程
至少有3个实根，又三次方程最多有3个实根，从而结论成立。
★★★9.证明：方程
只有一个正根。
知识点：零点定理和罗尔定理的应用。
思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。
解：令
，∵
在
上连续，且
，
，
∴由零点定理，至少有一点
，使得
；
假设
有两个正根，分别设为
、
（
），
则
在在
上连续，在
内可导，且
，
从而由罗尔定理，至少有一点
，使得
，这不可能。
∴方程
只有一个正根。
★★10.不用求出函数
的导数，说明方程
有几个实根，并指出它们所在的区间。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。
解： ∵
在
、
、
上连续，
在
、
、
内可导，且
，
∴由罗尔中值定理，至少有一点
、
、
，
使得
，即方程
至少有三个实根，
又方程
为三次方程，至多有三个实根，
∴
有3个实根，分别为
、
、
。
★★★11.证明下列不等式：
（1）
； （2） 当
时，
；
（3） 设
，证明
； （4） 当
时，
。
知识点：利用拉格朗日中值定理。
思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数
，通过式子
（或
）证明的不等式。
证明：（1）令
， ∵
在
上连续，在
内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得
。
（2）令
，∵
在
上连续，在
内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得
，
∵
，∴
，从而当
时，
。
（3）令
，∵
在
上连续，在
内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得
，
∵
，∴
，即
，
。
（4）令
，∵
在
上连续，在
内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得
，
∵
，∴
，即当
时，
。
★★12.证明等式：
.
知识点：
（
为常数）。
思路：证明一个函数表达式
恒等于一个常数，只要证
证明：令
，
当
时，有
；当
时，有
，∴
；
∴
成立。
★★★13.证明：若函数
在
内满足关系式
，且
，则
。
知识点：
思路：因为
，所以当设
时，只要证
即可
证明：构造辅助函数
，
则
；
∴
∴
。
★★★14.设函数
在
上连续，在
内有二阶导数，且有
，
试证在
内至少存在一点
，使
。
知识点：拉格朗日中值定理的应用。
思路：关于导函数
在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。
证明：∵
在
、
上连续，在
、
内可导，
∴由拉格朗日中值定理，至少有一点
、
，
使得
，
；
又
在
上连续，在
内可导，从而至少有一点
，
使得
。
★★★15.设
在
上可微，且
试证明
在
内至少有两个零点。
知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。
思路：要证明在某个区间
内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在
上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。
证明：∵
，由极限的保号性知，
（不妨设
），对于
，均有
，
特别地，
，使得
，∴得
；
同理，由
得
（
），使得
，
从而得
；
又∵
在
上连续，∴由介值定理知，至少有一点
使得
；
∵
在
、
上连续，在
、
内可导，且
，
∴由罗尔中值定理知，至少有一点
、
，使得
，结论成立。
★★★16.设
在闭区间
上满足
，试证明存在唯一的
，使得
。
知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。
思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的单调性得出结论。
证明：存在性。
∵
在
上连续，在
内可导，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一点
，使得
。
唯一性的证明如下：
方法一：利用反证法。假设另外存在一点
，使得
，
又∵
在
（或
）上连续，在
（或
）内可导，
∴由罗尔中值定理知，至少存在一点
（或
），使得
，这与
在闭区间
上满足
矛盾。从而结论成立。
方法二：∵
在闭区间
上满足
，∴
在
单调递增，
从而存在存在唯一的
，使得
。结论成立。
★★★17.设函数
在
的某个邻域内具有
阶导数，且
试用柯西中值定理证明：
。
知识点：柯西中值定理。
思路：对
、
在
上连续使用
次柯西中值定理便可得结论。
证明：∵
、
及其各阶导数在
上连续，在
上可导，
且在
每一点处，
，又
，
∴连续使用
次柯西中值定理得，
，从而结论成立。
习题3-2
★★1.用洛必达法则求下列极限：
（1）
； （2）
； （3）
；（4）
；
（5）
； （6）
； （7）
； （8）
；
（9）
； （10）
； （11）
； （12）
；（13）
； （14）
； （15）
； （16）
；
（17）
； （18）
； （19）
； （20）
。
知识点：洛必达法则。
思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：
型与
型未定式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于
型与
型的未定式，可通过通分或者取倒数的形式化为基本形式；对于
型、
型与
型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。
解： （1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（或解为：
）
（10）
；
（或解为：∵当
时，
，∴
）
（11）
；
（12）
；
（或解为：
）
（13）
；
（14）
；
（15）
；
（16）
；
（17）
；
（18）
；
（19）
；
（20）令
，则
∴
★★2.验证极限
存在，但不能用洛必达法则求出。
知识点：洛必达法则。
思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决所有的未定型极限问题。
解：∵
，∴极限
存在；
若使用洛必达法则，得
，
而
不存在，所以不能用洛必达法则求出。
★★★3.若
有二阶导数，证明
。
知识点：导数定义和洛必达法则。
思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于
的导数，然后利用导数定义得结论。
证明：∵
，∴结论成立。
★★★4.讨论函数
在点
处的连续性。
知识点：函数在一点连续的概念。
思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。
解：∵
，∴
在
处右连续；
又∵
，∴
在
处左连续；
从而可知，
在点
处连续。
★★★5.设
在
处二阶可导，且
。试确定
的值使
在
处可导，并求
，其中
。
知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。
思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。
解：要使
在
处可导，则必有
在
处连续，
又∵
在
处
，∴
；
由导数定义，
。
内容概要
名称
主要内容（3.3）
3.3 泰勒公式
泰勒中值定理：如果
在含有
的某个开区间
内具有
阶的导数，则对任一
，有360docimg_501_
360docimg_502_，此公式称为360docimg_503_阶泰勒公式；
其中360docimg_504_（360docimg_505_介于360docimg_506_于360docimg_507_之间），称为拉格朗日型余项；或360docimg_508_，称为皮亚诺型余项。
360docimg_509_阶麦克劳林公式：
360docimg_510_
其中360docimg_511_（360docimg_512_）或360docimg_513_。
常用的初等函数的麦克劳林公式：1）360docimg_514_
2）360docimg_515_
3）360docimg_516_
4）360docimg_517_
5）360docimg_518_
6）360docimg_519_
习题3-3
★1.按360docimg_520_的幂展开多项式360docimg_521_。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法。求360docimg_522_按360docimg_523_的幂展开的360docimg_524_阶泰勒公式，则依次求360docimg_525_直到360docimg_526_阶的导数在360docimg_527_处的值，然后带代入公式即可。
解：360docimg_528_，360docimg_529_；360docimg_530_，360docimg_531_；
360docimg_532_，360docimg_533_；360docimg_534_；360docimg_535_；360docimg_536_；
将以上结果代入泰勒公式，得
360docimg_537_360docimg_538_。
★★2.求函数360docimg_539_按360docimg_540_的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：同1。
解：360docimg_541_，360docimg_542_；360docimg_543_，360docimg_544_；
360docimg_545_，360docimg_546_；360docimg_547_；将以上结果代入泰勒公式，得
360docimg_548_
360docimg_549_，（360docimg_550_介于360docimg_551_与4之间）。
★★★3.把360docimg_552_在360docimg_553_点展开到含360docimg_554_项，并求360docimg_555_。
知识点：麦克劳林公式。
思路：间接展开法。360docimg_556_为有理分式时通常利用已知的结论360docimg_557_。
解：360docimg_558_
360docimg_559_；
又由泰勒公式知360docimg_560_前的系数360docimg_561_，从而360docimg_562_。
★★4.求函数360docimg_563_按360docimg_564_的幂展开的带有皮亚诺型余项的360docimg_565_阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，360docimg_566_为对数函数时，通常利用已知的结论
360docimg_567_360docimg_568_。
方法一：（直接展开）360docimg_569_，360docimg_570_；360docimg_571_，360docimg_572_；
360docimg_573_，360docimg_574_；360docimg_575_，360docimg_576_；
将以上结果代入泰勒公式，得
360docimg_577_360docimg_578_360docimg_579_360docimg_580_360docimg_581_360docimg_582_
360docimg_583_。
方法二：360docimg_584_
360docimg_585_
360docimg_586_。
★★5.求函数360docimg_587_按360docimg_588_的幂展开的带有拉格朗日型余项的360docimg_589_阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，360docimg_590_为有理分式时通常利用已知的结论360docimg_591_。
方法一：360docimg_592_，360docimg_593_；360docimg_594_，360docimg_595_；360docimg_596_，
360docimg_597_360docimg_598_，360docimg_599_；
将以上结果代入泰勒公式，得
360docimg_600_
360docimg_601_360docimg_602_
360docimg_603_360docimg_604_360docimg_605_（360docimg_606_介于360docimg_607_与360docimg_608_之间）。
方法二：360docimg_609_
360docimg_610_360docimg_611_360docimg_612_360docimg_613_ （360docimg_614_介于360docimg_615_与360docimg_616_之间）。
★★6.求函数360docimg_617_的带有皮亚诺型余项的360docimg_618_阶麦克劳林展开式。
知识点：麦克劳林公式。
思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。360docimg_619_中含有360docimg_620_时，通常利用已知结论
360docimg_621_。
方法一：360docimg_622_，360docimg_623_；360docimg_624_，360docimg_625_；360docimg_626_，
360docimg_627_，将以上结果代入麦克劳林公式，得
360docimg_628_
360docimg_629_360docimg_630_ 360docimg_631_。
方法二：360docimg_632_
360docimg_633_ 360docimg_634_。
★★7.验证当360docimg_635_时，按公式360docimg_636_计算360docimg_637_的近似值时，所产生的误差小于360docimg_638_，并求360docimg_639_的近似值，使误差小于360docimg_640_。
知识点：泰勒公式的应用。
思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。
解：360docimg_641_；360docimg_642_。
★★8.用泰勒公式取360docimg_643_，求360docimg_644_的近似值，并估计其误差。
知识点：泰勒公式的应用。
解：设360docimg_645_，则360docimg_646_
360docimg_647_360docimg_648_，从而360docimg_649_；其误差为：360docimg_650_。
★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：
（1）360docimg_651_； （2）360docimg_652_ 。
知识点：泰勒展开式的应用。
思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。
解：（1）360docimg_653_
360docimg_654_360docimg_655_。
（2）360docimg_656_
360docimg_657_360docimg_658_。
★★10.设360docimg_659_，证明：360docimg_660_。
知识点：泰勒公式。
思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展开的一部分时，可考虑用泰勒公式。
解：360docimg_661_（360docimg_662_介于360docimg_663_与360docimg_664_之间），∵360docimg_665_，∴360docimg_666_，
从而360docimg_667_，结论成立。
（也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之）
★★11.证明函数360docimg_668_是360docimg_669_次多项式的充要条件是360docimg_670_。
知识点：麦克劳林公式。
思路：将360docimg_671_按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。
解：必要性。易知，若360docimg_672_是360docimg_673_次多项式，则有360docimg_674_。
充分性。∵360docimg_675_，∴360docimg_676_的360docimg_677_阶麦克劳林公式为：360docimg_678_
360docimg_679_360docimg_680_
360docimg_681_360docimg_682_，即360docimg_683_是360docimg_684_次多项式，结论成立。
★★★12.若360docimg_685_在360docimg_686_上有360docimg_687_阶导数，且360docimg_688_
证明在360docimg_689_内至少存在一点360docimg_690_，使360docimg_691_。
知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。
思路：证明360docimg_692_，可连续使用拉格朗日中值定理，验证360docimg_693_在360docimg_694_上满足罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据360docimg_695_在360docimg_696_处的泰勒展开式及已知条件得结论。
方法一：∵360docimg_697_在360docimg_698_上可导，且360docimg_699_，
∴由罗尔中值定理知，在360docimg_700_内至少存在一点360docimg_701_，使得360docimg_702_；
∵360docimg_703_在360docimg_704_上可导，且360docimg_705_，
∴由罗尔中值定理知，在360docimg_706_内至少存在一点360docimg_707_，使得360docimg_708_；
依次类推可知，360docimg_709_在360docimg_710_ 360docimg_711_上可导，且360docimg_712_，
∴由罗尔中值定理知，在360docimg_713_内至少存在一点360docimg_714_，使得360docimg_715_。
方法二：根据已知条件，360docimg_716_在360docimg_717_处的泰勒展开式为：
360docimg_718_360docimg_719_360docimg_720_，
∴360docimg_721_360docimg_722_，从而得360docimg_723_，结论成立。
内容概要
名称
主要内容（3.4）
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
函数单调性的判别法：设360docimg_724_在360docimg_725_上连续，在360docimg_726_内可导，则
（1）若在360docimg_727_内360docimg_728_，则360docimg_729_在360docimg_730_上单调增加；
（2）若在360docimg_731_内360docimg_732_，则360docimg_733_在360docimg_734_上单调减少。
1） 曲线凹凸性的概念：设360docimg_735_在区间360docimg_736_内连续，如果对360docimg_737_上任意两点360docimg_738_，恒有
360docimg_739_，则称360docimg_740_在360docimg_741_上的图形是凹的；如果恒有
360docimg_742_，则称360docimg_743_在360docimg_744_上的图形是凸的。
2）拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。
曲线凹凸性的判别法：设360docimg_745_在360docimg_746_上连续，在360docimg_747_内具有一阶和二阶导数，则
（1）若在360docimg_748_内360docimg_749_，则360docimg_750_在360docimg_751_上的图形是凹的；
（2）若在360docimg_752_内360docimg_753_，则360docimg_754_在360docimg_755_上的图形是凸的。
习题3-4
★1.证明函数360docimg_756_单调增加。
知识点：导数的应用。
思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间360docimg_757_上，360docimg_758_（360docimg_759_），则360docimg_760_在360docimg_761_单调增加（减少）。
证明：∵360docimg_762_（仅在360docimg_763_处360docimg_764_），
∴360docimg_765_在360docimg_766_内是单调增加的。
★2.判定函数360docimg_767_的单调性。
解：∵360docimg_768_（仅在360docimg_769_处360docimg_770_），
∴360docimg_771_是单调增加的。
★★3.求下列函数的单调区间：
（1）360docimg_772_； （2）360docimg_773_；（3）360docimg_774_；
（4）360docimg_775_； （5）360docimg_776_； （6）360docimg_777_。
知识点：导数的应用。
思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。
解：（1）360docimg_778_的定义域为360docimg_779_；令360docimg_780_，
得360docimg_781_，360docimg_782_。列表讨论如下：
360docimg_783_
360docimg_784_
360docimg_785_
360docimg_786_
360docimg_787_
360docimg_788_
360docimg_789_
360docimg_790_
360docimg_791_
－
360docimg_792_
360docimg_793_
360docimg_794_
↗
↘
↗
由上表可知，360docimg_795_在360docimg_796_、360docimg_797_内严格单增，而在360docimg_798_内严格单减。
（2） 在360docimg_799_内，令360docimg_800_，得360docimg_801_；
当360docimg_802_时，有360docimg_803_；当360docimg_804_时，有360docimg_805_；
∴360docimg_806_在360docimg_807_内严格单增，在360docimg_808_内严格单减。
（3）360docimg_809_的定义域为360docimg_810_；令360docimg_811_，
得360docimg_812_；360docimg_813_为不可导点。列表讨论如下：
360docimg_814_
360docimg_815_
360docimg_816_
360docimg_817_
360docimg_818_
360docimg_819_
360docimg_820_
360docimg_821_
360docimg_822_
－
360docimg_823_
360docimg_824_
360docimg_825_
↗
↘
↗
由上表可知，360docimg_826_在360docimg_827_、360docimg_828_内严格单增，而在360docimg_829_内严格单减。
（4）360docimg_830_的定义域为360docimg_831_，
360docimg_832_360docimg_833_，
∴360docimg_834_在360docimg_835_内严格单增。
（5）360docimg_836_的定义域为360docimg_837_，∵360docimg_838_，
∴360docimg_839_在360docimg_840_上严格单增。
（6）360docimg_841_的定义域为360docimg_842_，令360docimg_843_，得360docimg_844_；
当360docimg_845_时，360docimg_846_；当360docimg_847_时，360docimg_848_；
∴360docimg_849_在360docimg_850_内严格单增，在360docimg_851_内严格单减。
★★4.证明下列不等式：
（1） 当360docimg_852_时，360docimg_853_； （2）当360docimg_854_时，360docimg_855_；
（3）当360docimg_856_时，360docimg_857_； （4）360docimg_858_时，360docimg_859_。
知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。
思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的方法。
解：（1）方法一：令360docimg_860_，
则当360docimg_861_时，360docimg_862_360docimg_863_360docimg_864_，
∴360docimg_865_在360docimg_866_上严格单增；从而360docimg_867_，
即360docimg_868_，结论成立。
方法二：由泰勒公式，得
360docimg_869_（360docimg_870_），
∴360docimg_871_，从而得360docimg_872_，结论成立。
（2）方法一：令360docimg_873_，则当360docimg_874_时，360docimg_875_，
360docimg_876_，
∴360docimg_877_在360docimg_878_内严格单增，
从而360docimg_879_，
∴360docimg_880_在360docimg_881_内严格单增，在360docimg_882_内360docimg_883_，
∴360docimg_884_，结论成立。
注：利用360docimg_885_的符号判断360docimg_886_的单调性，利用360docimg_887_的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出360docimg_888_在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。
方法二：令360docimg_889_，
当360docimg_890_时，360docimg_891_，
∴360docimg_892_在360docimg_893_内严格单增，
∴360docimg_894_，从而有，360docimg_895_，
∴360docimg_896_，即360docimg_897_，结论成立。
（3）令360docimg_898_，
则当360docimg_899_时有360docimg_900_（仅在360docimg_901_时，360docimg_902_），
∴360docimg_903_在360docimg_904_上严格单增，从而有360docimg_905_，
即360docimg_906_，结论成立。
（4）令360docimg_907_，则当360docimg_908_时，有360docimg_909_
从而360docimg_910_在360docimg_911_内严格单增，∴360docimg_912_，即在360docimg_913_内360docimg_914_；
再令360docimg_915_，
则当360docimg_916_时，360docimg_917_，
从而360docimg_918_在360docimg_919_内严格单增，∴360docimg_920_，
即在360docimg_921_内360docimg_922_，结论成立。
★★★5.试证方程360docimg_923_只有一个实根。
知识点：导数的应用。
思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。
解：易知，360docimg_924_，即360docimg_925_是方程的一个根；
令360docimg_926_，则360docimg_927_（仅在360docimg_928_处360docimg_929_），
∴360docimg_930_在360docimg_931_内严格单增，从而360docimg_932_只有一个零点，
即方程360docimg_933_只有一个实根。
★★6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：360docimg_934_。
知识点：导数的应用。
思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。
解：单调函数的导函数不一定为单调函数。
∵360docimg_935_（仅在360docimg_936_处360docimg_937_），
∴360docimg_938_在360docimg_939_内严格单增；
而360docimg_940_在360docimg_941_内严格单减，在360docimg_942_内严格单增，从而在360docimg_943_上不单调。
★★7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：
（1）360docimg_944_；（2）360docimg_945_ ； （3）360docimg_946_；
（4）360docimg_947_； （5）360docimg_948_； （6）360docimg_949_ 。
知识点：导数的应用。
思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些。
解：（1）360docimg_950_，360docimg_951_，∵当360docimg_952_时，360docimg_953_，
∴360docimg_954_在360docimg_955_上为凹函数，没有拐点。
（2）360docimg_956_的定义域为360docimg_957_；
360docimg_958_，360docimg_959_，令360docimg_960_，得360docimg_961_；
当360docimg_962_或360docimg_963_时，360docimg_964_；当360docimg_965_或360docimg_966_时，360docimg_967_；
∴360docimg_968_的凹区间为360docimg_969_、360docimg_970_，凸区间为360docimg_971_、360docimg_972_；∴拐点为360docimg_973_。
（3）360docimg_974_的定义域为360docimg_975_，360docimg_976_，360docimg_977_，
∴360docimg_978_在整个定义域上为凹函数，没有拐点。
（4）360docimg_979_的定义域为360docimg_980_，360docimg_981_，
360docimg_982_360docimg_983_，∴360docimg_984_在整个定义域上为凹函数，没有拐点。
（5）360docimg_985_的定义域为360docimg_986_，360docimg_987_，360docimg_988_，
令360docimg_989_，得360docimg_990_；列表讨论如下：
360docimg_991_
360docimg_992_
360docimg_993_
360docimg_994_
360docimg_995_
360docimg_996_
360docimg_997_
－
360docimg_998_
360docimg_999_
360docimg_1000_
－
360docimg_1001_
360docimg_1002_
360docimg_1003_
360docimg_1004_
由上表可知，360docimg_1005_的凸区间为360docimg_1006_、360docimg_1007_，凹区间为360docimg_1008_，拐点为360docimg_1009_及360docimg_1010_。
（6）360docimg_1011_的定义域为360docimg_1012_，360docimg_1013_，360docimg_1014_，
令360docimg_1015_，得360docimg_1016_；当360docimg_1017_时，360docimg_1018_；当360docimg_1019_时，360docimg_1020_；
∴360docimg_1021_的凹区间为360docimg_1022_，凸区间为360docimg_1023_，拐点为360docimg_1024_。
★★★8.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
（1）360docimg_1025_； （2）360docimg_1026_。
知识点：函数凹凸性的概念。
思路：利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式，特别是不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线性组合时可考虑利用函数的凹凸性。
证明：（1）令360docimg_1027_，∵360docimg_1028_，∴360docimg_1029_在360docimg_1030_内是凹的。
利用凹函数的定义，360docimg_1031_360docimg_1032_，有360docimg_1033_，结论成立。
（2）令360docimg_1034_，∵在360docimg_1035_内，360docimg_1036_，∴360docimg_1037_在360docimg_1038_内是凸的。利用凸函数的定义，360docimg_1039_360docimg_1040_，有360docimg_1041_，结论成立。
★★★9.求曲线360docimg_1042_的拐点。
知识点：导数的应用。
思路：同7。
解：360docimg_1043_的定义域为360docimg_1044_，360docimg_1045_，
360docimg_1046_
令360docimg_1047_，得360docimg_1048_，360docimg_1049_；现列表讨论如下：
360docimg_1050_
360docimg_1051_
360docimg_1052_
360docimg_1053_
360docimg_1054_
360docimg_1055_
360docimg_1056_
360docimg_1057_
360docimg_1058_
－
360docimg_1059_
360docimg_1060_
360docimg_1061_
－
360docimg_1062_
360docimg_1063_
360docimg_1064_
360docimg_1065_
360docimg_1066_
360docimg_1067_
360docimg_1068_
由上表可知，拐点为360docimg_1069_、360docimg_1070_、360docimg_1071_。
★★10.问360docimg_1072_及360docimg_1073_为何值时，点360docimg_1074_为曲线360docimg_1075_的拐点？
知识点：导数的应用。
思路：拐点通常是二阶导数的零点或者是不可导点。又高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点。
解：360docimg_1076_的定义域为360docimg_1077_，360docimg_1078_，360docimg_1079_；
将360docimg_1080_代入360docimg_1081_中，得：360docimg_1082_①；
将360docimg_1083_代入360docimg_1084_中，得：360docimg_1085_②；
由①②得，360docimg_1086_，360docimg_1087_。
★★★11.试确定曲线360docimg_1088_中的360docimg_1089_、360docimg_1090_、360docimg_1091_、360docimg_1092_，使得在360docimg_1093_处曲线有水平切线，360docimg_1094_为拐点，且点360docimg_1095_在曲线上。
知识点：导数的几何意义及导数的应用。
思路：利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点，在某点处的导数值等于该点处切线的斜率，以及已知条件，建立方程组，确定函数中的待定参数。
解：360docimg_1096_，360docimg_1097_； 将360docimg_1098_代入360docimg_1099_，得
360docimg_1100_ ①
将360docimg_1101_分别代入360docimg_1102_与360docimg_1103_中，得
360docimg_1104_ ②； 360docimg_1105_ ③
将360docimg_1106_代入360docimg_1107_中，得360docimg_1108_④
由①②③④得，360docimg_1109_，360docimg_1110_，360docimg_1111_，360docimg_1112_。
★★★12.试确定360docimg_1113_中360docimg_1114_的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。
知识点：导数的应用。
思路：可导的拐点必为二阶导数为零的点；依此求出拐点坐标，写出法线方程，根据已知条件，求出360docimg_1115_值。
解：360docimg_1116_的定义域为360docimg_1117_；360docimg_1118_，360docimg_1119_；
令360docimg_1120_，得360docimg_1121_。易知，当360docimg_1122_的取值通过360docimg_1123_的两侧时，360docimg_1124_会变号，
∴360docimg_1125_与360docimg_1126_均为360docimg_1127_的拐点；∵360docimg_1128_，360docimg_1129_，
∴两拐点处法线方程分别为：360docimg_1130_，360docimg_1131_；
又两法线过原点，将360docimg_1132_代入法线方程，得360docimg_1133_，解得360docimg_1134_。
★★★★13.设函数360docimg_1135_在360docimg_1136_的某邻域内具有三阶导数，如果360docimg_1137_，
而360docimg_1138_，试问360docimg_1139_是否为拐点，为什么？
知识点：导数的应用。
思路：根据极限的保号性和拐点的定义得结论。
方法一：360docimg_1140_，360docimg_1141_不妨设360docimg_1142_，即
360docimg_1143_360docimg_1144_；
由极限的保号性知，必存在360docimg_1145_，使得360docimg_1146_，均有360docimg_1147_；
从而当360docimg_1148_时，有360docimg_1149_，当360docimg_1150_时，有360docimg_1151_；
∴360docimg_1152_为拐点。
内容概要
名称
主要内容（3.5）
3.5
函数的极值与最大值最小值
极值的概念：设函数360docimg_1153_在点360docimg_1154_的某个邻域内有定义，若对该邻域内任意一点360docimg_1155_（360docimg_1156_），恒有360docimg_1157_（或360docimg_1158_），则称360docimg_1159_在点360docimg_1160_处取得极大值（或极小值），而360docimg_1161_成为函数360docimg_1162_的极大值点（或极小值点）。
函数极值的
判别法
第一充分条件：设函数360docimg_1163_在点360docimg_1164_的某个邻域内连续且可导（360docimg_1165_可以不存在），
（1）若在360docimg_1166_的左邻域内，360docimg_1167_；在在360docimg_1168_的右邻域内，360docimg_1169_，则360docimg_1170_在360docimg_1171_处取得极大值360docimg_1172_；
（2）若在360docimg_1173_的左邻域内，360docimg_1174_；在在360docimg_1175_的右邻域内，360docimg_1176_，则360docimg_1177_在360docimg_1178_处取得极小值360docimg_1179_；
（3）若在360docimg_1180_的左邻域内，360docimg_1181_不变号，则360docimg_1182_在360docimg_1183_处没有极值。
注：第一充分条件利用一阶导数符号判断函数单调性。
第二充分条件：设360docimg_1184_在360docimg_1185_处具有二阶导数，且360docimg_1186_，360docimg_1187_，则
（1）当360docimg_1188_时，函数360docimg_1189_在360docimg_1190_处取得极大值；
（2）当360docimg_1191_时，函数360docimg_1192_在360docimg_1193_处取得极小值。
注：利用驻点处二阶导数符号判断驻点是否为极值点。
函数的最大值和最小值：注意函数极值和最值的区别和联系
习题3-5
★★1.求下列函数的极值：
（1）360docimg_1194_； （2）360docimg_1195_； （3）360docimg_1196_；
（4）360docimg_1197_； （5）360docimg_1198_； （6）360docimg_1199_。
知识点：极值的充分条件。
思路：求360docimg_1200_的点或者360docimg_1201_不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行判断。
解：（1）方法一：360docimg_1202_的定义域为360docimg_1203_，
令360docimg_1204_，得360docimg_1205_，360docimg_1206_；现列表讨论如下：
360docimg_1207_
360docimg_1208_
360docimg_1209_
360docimg_1210_
360docimg_1211_
360docimg_1212_
360docimg_1213_
360docimg_1214_
360docimg_1215_
－
360docimg_1216_
360docimg_1217_
360docimg_1218_
↗
极大值点
↘
极小值点
↗
由上表知，360docimg_1219_在360docimg_1220_处取得极大值为360docimg_1221_，在360docimg_1222_处取得极小值为360docimg_1223_。
方法二：令360docimg_1224_，得360docimg_1225_，360docimg_1226_；
由360docimg_1227_得，360docimg_1228_，360docimg_1229_，
∴由极值的第二充分条件知，360docimg_1230_在360docimg_1231_处取得极大值为360docimg_1232_，
在360docimg_1233_处取得极小值为360docimg_1234_。
（2）方法一：360docimg_1235_的定义域为360docimg_1236_，令360docimg_1237_，得360docimg_1238_；
当360docimg_1239_时，有360docimg_1240_；当360docimg_1241_时，有360docimg_1242_，
∴由极值的第一充分条件知，360docimg_1243_在360docimg_1244_处取得极小值为360docimg_1245_。
方法二：360docimg_1246_的定义域为360docimg_1247_，令360docimg_1248_，得360docimg_1249_；
又由360docimg_1250_，得360docimg_1251_，
∴由极值的第二充分条件知，360docimg_1252_在360docimg_1253_处取得极小值为360docimg_1254_。
（3） 方法一：360docimg_1255_的定义域为360docimg_1256_，令360docimg_1257_，得360docimg_1258_，360docimg_1259_；现列表讨论如下：
360docimg_1260_
360docimg_1261_
360docimg_1262_
360docimg_1263_
360docimg_1264_
360docimg_1265_
360docimg_1266_
－
360docimg_1267_
360docimg_1268_
360docimg_1269_
－
360docimg_1270_
↘
极小值点
↗
极大值点
↘
由上表知，360docimg_1271_在360docimg_1272_处取得极小值为360docimg_1273_，在360docimg_1274_处取得极大值为360docimg_1275_。
方法二：360docimg_1276_的定义域为360docimg_1277_，令360docimg_1278_，得360docimg_1279_，360docimg_1280_；
由360docimg_1281_，得360docimg_1282_，360docimg_1283_；
∴由极值的第二充分条件知，360docimg_1284_在360docimg_1285_处取得极小值为360docimg_1286_，在360docimg_1287_处取得极大值为360docimg_1288_。
（4）360docimg_1289_的定义域为360docimg_1290_，令360docimg_1291_，得360docimg_1292_；
当360docimg_1293_时，有360docimg_1294_；当360docimg_1295_时，有360docimg_1296_，
∴由极值的第一充分条件知，360docimg_1297_在360docimg_1298_处取得极大值为360docimg_1299_。
注：此题中360docimg_1300_的表达式比较繁琐，所以优先考虑第一充分条件。
（5）360docimg_1301_的定义域为360docimg_1302_，
令360docimg_1303_，得360docimg_1304_，360docimg_1305_；由360docimg_1306_，得
360docimg_1307_，360docimg_1308_， 360docimg_1309_；
∴由极值的第二充分条件知，
360docimg_1310_在360docimg_1311_处取得极大值为360docimg_1312_，
在360docimg_1313_处取得极小值为360docimg_1314_，360docimg_1315_。
注：此题的单调区间有无穷多个，所以优先考虑第二充分条件。
（6）360docimg_1316_的定义域为360docimg_1317_，令360docimg_1318_，得360docimg_1319_；
360docimg_1320_为不可导点；现列表讨论如下：
360docimg_1321_
360docimg_1322_
360docimg_1323_
360docimg_1324_
360docimg_1325_
360docimg_1326_
360docimg_1327_
360docimg_1328_
360docimg_1329_
－
360docimg_1330_
360docimg_1331_
360docimg_1332_
↗
极大值点
↘
极小值点
↗
由上表知，360docimg_1333_在360docimg_1334_处取得极大值为360docimg_1335_，在360docimg_1336_处取得极小值为360docimg_1337_。
注：此题中的函数具有不可导点，所以用第一充分条件。
★★★2.试证：当360docimg_1338_时，360docimg_1339_取得极值。
知识点：函数取得极值的条件。
思路：在定义区间内求360docimg_1340_的点，然后利用极值的充分条件进行判断。
证明：360docimg_1341_的定义域为360docimg_1342_，令360docimg_1343_，
∵方程360docimg_1344_根的判别式：360docimg_1345_
∴当360docimg_1346_时，得驻点为360docimg_1347_；由360docimg_1348_，得
360docimg_1349_，
360docimg_1350_，
∴360docimg_1351_在360docimg_1352_处取得极小值，在360docimg_1353_处取得极大值。
★★3.试问360docimg_1354_为何值时，函数360docimg_1355_在360docimg_1356_处取得极值，并求出极值。
知识点：取得极值的条件。
思路：利用极值的必要条件，确定360docimg_1357_的值，然后利用充分条件，判断是极大值还是极小值。
解：根据题意，得360docimg_1358_，
即360docimg_1359_，360docimg_1360_；
由360docimg_1361_，得360docimg_1362_，
∴360docimg_1363_在360docimg_1364_处取得极大值360docimg_1365_。
