一、“十位上数字相同,个位上数字互补”的两个两位数相乘
十位乘以大一数,个位之积后面拖。
就以43×47为例来说明口诀的运用。
口诀第一句“十位乘以大一数”的操作是:用4(十位上的数)乘以5(比十位上的数大1的数),得到20。口诀第二句“个位之积后面拖”的操作是:用3乘7得积21,(个位之积)直接写在20的后面(后面拖),得2021就是答案。
需要注意的是当个位数是1和9时,它们的乘积9也是个一位数,在往十位数的乘积后面“拖”的时候,在9的前面要加一个0,即把9看成09。例如91×99,答案不是909而应该是9009。
此速算法的代数证明如下:
任意一个两位数可以用10a+b来表示,(例如56就是10×5+6这里的a是5,b是6)另一个不同的十位数则可以用10c+d来表示,两个不同的十位数相乘就可以写成:(10a+b)(10c+d)由于规定的条件是“十位上数字相同”所以上述代数式可以改写成(10a+b)(10a+d),把这个代数式展开如下:
(10a+b)(10a+d)=100a2+10ad+10ab+bd
由于规定的另一个条件是“个位上数字互补(之和等于10)”,也就是式中的d+b=10所以上式可以演化为
=100a2+100a+bd
这个式子中的a就是“十位上的数字”,而(a+1)就是“比它大1的数”,它们的乘积再乘以100就是在后面添两个0罢了。个位数的乘积bd“拖”在后面实际上是加在两个0位上。这也正是bd=9时要写成0 9的道理。
适用于此类速算法的乘式有如下45组:
11×19
31×39
51×59
71×79
91×99
二、“十位上数字互补,个位上数字相同”的两个两位数相乘
第一种速算法要求“”而这一类两位数乘法要求的条件恰恰相反,要求“十位上数字互补,个位上数字相同”。这一类两位数乘法的速算口诀是:
个位加上十位积,个位平方后面接
就以47×67为例来说明口诀的运用。
用7(“个位”上的数字)加上24(十位上两个数字的乘积)得31(就是口诀“个位加上十位积”),在31的后面接着写上49(个位数的平方),得3149就是答案。
需要注意的是当个位数的平方也是个一位数时,在 “接”的时候,在其前面要添一个0,即把1看成01;把4看成04;把9看成09。例如23×83,答案不是199而应该是1909。
此速算法的代数证明如下:
(10a+b)(10c+b)=100ac+10ab+10bc+b2
因为十位上数字互补,所以式中的a+c等于10,于是上式演化为
这(ac+b)就是“个位加上十位积”,乘100等于后面添两个0。式中的“+b2”
就是加上个位数的平方。由于个位数的平方最多也就是两位数,所以必定是加在两个0位上,实际效果就是“接”在前面数字的后面。
适用于此类速算法的乘式有如下45组:
11×91
13×93
15×95
17×97
19×99
其中加黑字体的55×55与第一种速算法重叠,也就是它既可以适用于第二种速算法,也适用于第一种速算法。
三、“十几乘十几”
如18×16这样的乘式,两个两位数十位上的数相等而且都是1,但个位上的两个数字则是任意的(并不要求其互补),这就是“十几乘十几”。这一类两位数乘法的速算口诀是:
十几乘十几,好做也好记,一数加上另数个,十倍再加个位积
以18×16为例来说明口诀的运用。
用18(“一数”,即其中的一个数)加上6(另外一个数的个位数,简称“另数个”)得24并将其扩大10倍(后面添个0即可)成240,再加上两个个位数的乘积(6、8得48),所得288就是18×16的答案。
当个位数的乘积也是一位数时,由于这个积是加在前面一个已求出的和数扩大10倍后的那个0上的,所以实际上是直接“拖”在那个“和数”的后面就可以了。
例如12×13
此速算法的代数证明如下:
(10+a)(10+b)=100+10a+10b+ab
括号中的10+a+b可以看成(10+a)+b或(10+b)+a其中的(10+a)或(10+b)即是两个乘数中的一个,而所加的b或a就是另一个乘数的个位数,这就是口诀“一数加上另数个”的来由。(10+a+b)的前面还有10相乘,所以第二句口诀一开始就是要求“十倍”,然后“再加个位积”(就是公式中的+ab)。
适用于此类速算法的乘式有如下45组:
11×11
12×12
14×14
其中加黑字体的五组与第一种速算法重叠,也就是这五组乘式既可以适用于第二种速算法,也适用于第一种速算法。
四、二十几乘二十几
一数加上另数个,廿倍再加个位积
以26×27为例来说明口诀的运用。
用26加7得33,“廿倍”就是乘2后再添0,所以得660。再加上42(个位上的6乘7)答案是702。
当个位数的乘积也是一位数时,由于这个积是加在前面一个已求出的和数扩大20倍后的那个0上的,所以实际上是直接“拖”在那个翻倍后的“和数”的后面就可以了。
例如22×23
此速算法的代数证明如下:
(20+a)(20+b)=400+20a+20b+ab
括号中的20+a+b可以看成(20+a)+b或(20+b)+a其中的(20+a)或(20+b)即是两个乘数中的一个,而所加的b或a就是另一个乘数的个位数,这就是口诀“一数加上另数个”的来由。(20+a+b)的前面还有20相乘,所以第二句口诀一开始就是要求“廿倍”,然后“再加个位积”(就是公式中的+ab)。
适用于此类速算法的乘式有如下45组:
21×21