本文发表于《当代教育家》2023.02期
我不知道大家的结论是什么，但是可以确定的是：数学学习根本不等于数学，这是完全不同的两回事，两个概念。全景式数学教育认为“小学数学的学习，既是理性的也是感性的，而且首先是感性的。”——因为辩证唯物主义理论早就给出了这样的结论：“感性认识是理性的基础，离开了感性，理性就成了无根之水，无本之木。”德国著名数学家康德也就此留下这样一句传世名言：“如果没有感性，则对象不会被赋予。”全景式数学教育认为“感性是否充分、完整和深刻……将直接影响理性是否充分、完整和深刻……”主张“小学数学学习只有更感性，才能更理性。”如何打造更“感性”的场，为孩子建设更生动的数学课程和数学教学？下文中，我将拾零般记述全景式数学在江苏南京的基地校南京赫贤学校实施全景式数学的一些典型案例。所谓“行家能窥斑知豹、见微知著”，希望各位同仁通过我们这些零散的案例，审视全景式数学团队是如何为学生打造更“感性”的场，为他们建设更生动的数学课程和数学教学的；同时，也恳请各位同仁批评指正，并给予我们宝贵的建设性建议。这里所谓的“五感齐至、六觉全动”是指在让学生尽可能动用更多学具使用各种实境触发和调动自己更多感官、更多的“感与觉”（触觉、味觉、视觉、听觉、嗅觉、心觉）参与自己的学习。我们的学生会自己动手DIY日晷、滴漏、钟表来学习时间。孩子们到了六年级还会使用椭圆规（见下图）浪漫直观地画、认椭圆，通过与圆对比，加深理解的同时，又拓宽孩子的视野，为未来的学习打下了浪漫的体验基础。那么怎么系统设计一个完整的“五感齐至，六觉全动”的教学活动呢？我们一起看看赫贤学校的学生都动用了什么，经历了怎样的学习长度的过程吧。首先，他们在生活浪漫浸润和自主调查的基础上，用身体测量了这个世界：他们用拃（古尺）去量竹叶、用步（古跬）去量沙道、用拇指（古寸）量狗尾草、用掌宽（古肤）量花朵、用庹（古寻古仞）去量黑板、用脚长（英尺）量爬杆间隔……当一年级学生王鹏博横躺在操场的跑道上，发现自己的身高和跑道的宽度竟然一样的时候（1.22米），他自发地说：“我就是一把尺子。”正在现场的我听到他说这句话，情不自禁地双目盈满泪水、激动不已、欣慰不已、思绪万千、感慨万千：“这个孩子的这句话不正揭示了一个朴素的哲学命题——'人是万物的尺度’吗？”接着，他们认识“米原器”及其来源→认知并使用直尺、卷尺实际测量→认识和实用测绳→认识和实用激光测距仪→认识和实用测距测亩轮→认识和实用手机上测量APP→认识和实用百度地图、高度地图等查询较远的距离……全景式视域下学习的赫贤学生，浓缩地“动进”了人类的整个测量史。“动见”了整个测量的衍进和文化。以上教学活动中涉及的学具，只是我们全景式数学教育独创的“全景式数学体验馆”中的几个学具而已。“全景式数学体验馆”里万物皆可为学具，就连我们老师自己也可以成为学生的学具。建馆时间才仅仅一年多，我们就自选、自制、自创了三百多种，自己设计建设了操作台、教具柜、展示柜、数学阅览柜等，创造性实现了实验操作体验室、即时数学学习室、数学阅览室、教具储藏室、教学研讨室、个辅室和部分教师办公室的七合一功能。另外，我们还充分利用走廊、大厅、操场等校园内一切可以利用的环境建设了配套的体验现场和情境。我们做这些就是想试图在学具的设置、使用和配置上都有新的突破，就是为了给学生的“充分感性”提供更丰富、更完备的支撑。全景式数学教育试图努力让每一个知识点，都可体验、可操作、可躬行、可六觉。试图在更大程度上突破“颈上数学”的窘境，更大程度地落实全课程学习理念，具身地学，全身心地学。这些学具的丰富和完善，不仅仅能支撑和保障孩子们“五感齐至，六觉全动”地去学习，也可以让孩子通过学具看见历史、看见现代化、看见更多事物和科技……全景式数学教育的追求之一就是努力让孩子通过我们的数学教学，可以更多地看见。包括我们对教材内容的拓展、补充和完善，包括我们引进了非传统数学内容、完善思考过程和学法课程等等都是为了让孩子更多地看见，因为：我们的孩子只有更多地看见、思考，他才能成为更会思考的人，他只有更多地看见现代化，他才能成为现代化的人，他只有更多地看见文化，才能成为更文化的人，他只有更多地看见美好，才能成为更美好的人……以“认识左右”的教学为例。它是一年级所有数学版本都设置的一节课，以前，我带的一位青年教师是这样上的，一节课由五个活动进阶构成：1.认识左右手、左方右方；2.看和说左右边有谁、有什么；3.摸鼻子游戏（如教师说鼻子鼻子左眼等，学生快速指出左右的相应事物）；4.贴鼻子游戏(在黑板上贴一个脸，没有鼻子。然后用毛巾把孩子的眼蒙住了，全班指挥，往左一点，往右一点，往上一点，往下一点……直到贴上）；5.实用——抽签重新排座位。每个签上分别写着“你的座位在某某的左（或右）面”等，学生根据抽到的签上带有左右的位置描述作出判断，找到自己的位置，全班座位重排。这个活动设计地很好，利用方位解决实际问题。上完之后，这位年轻教师问我：“师父，您觉得我上得怎么样？有什么缺点你一定要给我指出来。”我说：“最大的优点是，你这节课，充分做到了活动化、游戏化、生活化，让孩子在真实的应用中具身学习，很鲜活、很生动、很有趣，非常好地落实了'全景式数学强调优先捍卫儿童对数学的兴趣、信心和好奇心’和'让学生做真事、真做事”的理念。很了不起！”我说：“很多不该数学老师教的都教了，很多该数学老师教的却一点没教。你一节课都是重复的学生的生活经验，没有从生活经验的基础上长出数学，学生没有实现数学的成长。”她听了有些不服气，说：“我网上查过了，大家都是这么教的。”我说：“都是这么教的，不一定是对的。我想问你，你上课教的这些他爹妈能教会他吗？”我继续追问：“连路上随便找一个人都能教会的东西，要你干啥？”徒弟反过来将了我一军：“师父，那这节数学课您不让我教这些，我教什么？”我给他介绍了全景式数学的前期浪漫浸润设计和实施过程，并于第二天，在我的班级里上给她看。全景式数学教育主张使用“化”字诀，即分散融化在学生的日常生活、其他学科的学习生活中提前进行自然浸润。浸润路径一：在开学前的入学准备家校通联会上，就给家长讲明白，孩子进入一年级需要先认识、分辨清前、后、左、右等这些方向，因为这是孩子入学后学习数数、分类、认识图形等的基础。请家长教自己的孩子认识左右、探讨辨清左右的方法（事实上，绝大多数孩子在一年级入学前已经认识左手、右手、左边、右边了）。浸润路径二：和班主任协同。学生一进校肯定要认识校园、排座位、认识周围的同学。班主任协同数学老师，可以将前、后、左、右等方向有意识融入、突出于学生的这些校园生活：比如认识在自己左边、右边的同学是谁；比如带领学生认识卫生间，这样表达和强调：出门之后往右转，然后往前走，走到路口往左转，再往前走，右侧就是卫生间，前面的是女卫生间，后面的是男卫生间等等；比如认识食堂路线，上下楼梯、走路要靠右边走……这都是在教、在学左右。浸润路径三：和体育老师协同。从第一节体育课就开始，教学队列中的向前看齐、向右看齐，向左看齐，向左转、向右转等。通过这些路径的浸润，孩子基本都能分清左手、右手、左边、右边的。这些，的确是不需要在课堂教的。你在家里、在体育课上、班主任都带领你认识了左、右，可是有的同学还不能很快分清，你有什么奇妙的办法帮助这些同学很快地分清左右吗？学生的妙法迭出，分享很积极、很精彩。比如：有同学说，妈妈戴戒指的手就是左手。有同学说，你摸摸心脏，哪边有心跳，哪边就是左（我说孩子，有少数人是右心。）这个分享环节结束后，一些没掌握左右的孩子很快就被同伴教会了。我选第一排挨坐在一起A、B、C三位同学（与全部同学同样的面向）。我故作困惑地问道：诶，奇了怪了，小B一直没动，也没变，三个人都没动，都没变，怎么一个说小B在左边，一个说小B在右边呢？有的学生说：坐在A的位置看，小B在左边；坐在小C的位置看，小B在右边。最后通过老师的引导，感悟到“是左、是右，观察点很重要！”感悟到“从不同的位置、不同的地点看一个人、一个物体等，它的方向可能发生改变。从相反的位置观察，他的方向也往往会变成相反的方向。”这其实是在让学生提前浪漫地感知坐标原点，渗透坐标原点的改变对方向和位置的影响，并感悟方向的相对性。这个内容，保安、路人、体育老师、语文老师是不教的，也不会教的，它，须要数学老师来教。我在教室里挂出一个幕布，让D、E、F三位同学藏在后面且与全班同学面同向，全班同学都看不见他们。孩子们一下懵了，思考、讨论一会儿后，得出结论：有可能小E在小F的的左边，也有可能小E在小F的右边。不好说。这个现场猜谜戏剧，不仅极大激发了学生的研究兴趣，更激励他们深入积极地推理、思考，引导学生认识到：只给定方向左和右，有时候并不一定能确定物体的具体位置。学生思考一会，立刻炸了锅，准确地作出了判断：E在F的左边，F在E的右边。“也就是确定一个物体的具体位置，不仅需要知道它的方向，还需要知道它的……？”让学生初步感悟到：只有方向和距离（远近）结合起来才能确定为物体的具体位置。这里有了数学思维，有了数学推理。这个，保安、路人、体育老师、语文老师是不教的，也不会教的！它，须要数学老师来教。我（教师）站在教室门口（全班同学的最右侧，且教师与全班的同学朝向相同），让教室最内的学生拉一位同学站在教师的左边，学生的第一反应是把那个学生从教室最内侧拉到门口，安置在紧靠老师的左侧位置；在老师的启发下，有的学生发现只要把最内侧学生往前一推，他就站在了老师的左侧。接着教师让学生感悟到，学生站在教师左侧的任意一点都是在老师的左边。又辩证地体验到老师的左边竟然和距离远近无关。 现场演示：教师扮演汽车，向学生G（也是全班同学）的右侧（东方）行驶。问：这时，汽车向小G的（右）边行驶，汽车此时在小G的（左）边？（如上图所示）问：这时，汽车向小G的（右）边行驶，汽车此时在小G的（右）边？（如上图所示）在这里，学生亲眼见证了相对于同一个观察点，有一直不变的方向，有改变的方向，汽车向右方（东方）行驶，向东方行驶是绝对方向，但是相对于路途中的一个人，汽车开始在他的左（右）侧，行驶过了他就变为在他的右（左）侧，则是相对方向。这又是辩证的、充满审辨的，这只有数学老师才能教。这个，保安、路人、体育老师、语文老师是不教的，也不会教的！它，须要数学老师教来教！刚下课，徒弟便挤到我的跟前，深有感触地说：“师父，我终于明白您为什么说我该教的没教了，我要给同学们重新上一遍！”我上的那节左右课，其中的活动2、3、4、5中的四点，学生很难自己从生活经验中自动实现数学化，帮助学生提炼、抽象、总结出数学理性的知识，学会辩证地思维……这才是需要数学老师教的东西，也是数学老师必须教的东西。这也是全景式数学更数学的一个重要体现。我们比较以上两节课，两节课都设计教学了五个活动。但是，我们想一想，哪一节更具有思维的含量？哪一节更接近数学的本质？哪一种教学更加深刻？哪一种更能启迪智慧，让学生在后续学习当中更有潜力？哪一节课对数学学科而言是高效的，哪一节是低效的、甚至是无效的？……因此，一节数学课到底教什么？不一定是教材上写的东西，也不全是教参上写的东西。所以，我们全景式数学团队的每一位老师都要重新审视每一节数学课，必须先彻底弄清这三件事——第一，先摘清哪些是不需要教的；第二，哪些是数学老师必须出手的；第三，这节课到底要孩子在哪些方面成长出数学，实现数学地成长。全景式数学教育努力让“学生”都成为游刃有余的动手“解牛”的优秀“屠夫”
这里的“屠夫”不是我们一般意义上理解的屠夫，是指用数学解决实际问题的高手。这里的“屠夫”一词并不是借用的，而是世界著名的科学家和教育家钱伟长先生，他在接受文汇报专访时谈到国内教育时这样语重心长地说：“我们培养的应该是解决实际问题的优秀'屠夫’，而不是制刀的'刀匠’，更不是一辈子欣赏自己的刀有多么锋利而不去解决问题的刀匠。”这是我亲自做过的一个实验。七个饼平均分给八个人，你会怎么分？我曾经课前进行调查采访。采访了二十多位老师，其中有三位是数学特级，国媒教育记者3人，打扫卫生的阿姨3人，徒弟小武的妈妈（全职居家）。老师们大都这样分：第一种思路，把一个饼平均分成8份，每一个人拿一份。第二种思路，把八个饼摞在一起平均分成八份。大家看看，这样7个饼子摞在将近20厘米高，一起平均切成八份很难实施，不现实。而我们二年级还没学过除法的孩子，打扫卫生的阿姨，小武的全职的妈妈给出了更合理、更生活和更现实的分法。 下面是2022年11月14日，我带二年级新蕾班孩子们上课的实录。老师们想到的分法，我们二年级没有学过除法的孩子都想到了：我们的孩子更想到了数学老师没想到的分法——先分四个，每人半个；再分两个，每人四分之一个；最后分一个，每人八分之一个。每人拿到了三块。原来最生活的分法用数学的符号来表达就是——这就是古印度分数为什么都写成几分之一相加的现实依据和由来。它是最能解决平均分的实际问题的。当我把孩子们的分法分享给一位数学特级教师，你知道这位特级教师怎么感叹的吗？——“哎！真是知识越多越笨。”小武老师的妈妈对小武感叹道：“到底不是做事的人，想的都是数学的方法。”原来数学根本不等于生活，做题根本不等于做事，解决数学问题的能力，根本就不等于解决实际问题的能力，“刀匠”根本不等于“屠夫”。原来数学是抽象理性的“阳春白雪”，更是实在感性的“人间烟火”。全景式数学努力让更多的数学教学都更多地指向生活，指向做事，指向真题解决，因此我们所指的“动”不仅仅是一般意义上的动手操作，而是动真格的“做真事，真成事，做成事”的行动。去打破“会做题不会做事，会解决数学题，不会解决实际问题，高分低能”的现象。所以我们的目标就是让每一位接受全景式数学教育的学生都成为优秀的屠夫。我们努力让学生在三“动”两“跃”的基础上，更深刻地动抵数学的“理性具体”
马克思的辩证唯物主义认知论，把认知能力的发展分三个阶段，即任何知识的学习（包括语文），它都要经过“感性具体”到“理性抽象（智力抽象）”，最后都要达到“理性具体”阶段。这里的三“动”，指的是学生在感性具体阶段的浪漫体验活动、理性抽象阶段的数学化活动、理性具体阶段的实践、综合、深刻、结构和系统化的活动。两“跃”是实现从感性到理智抽象的飞跃，更实现从理智抽象到理性具体的飞跃。下面就以全景式数学教育自己独创的一个主题活动“定位万物”的课程设计与施行来进行说明。活动1：让孩子自己扎气球（见下图），记住自己扎破的气球的列与行，并用数对记录。（这就是自己的幸运奖位置）活动2：根据自己记录的数对，在大橱子找到相应的位置，取出自己幸运奖品（见下图）。 活动3：学生扮演新上岗的司药，为自己编制抓药的“数对索引”。开始，孩子是这样编的，（1，1）是地肤子，（1，2）是茯苓。（1，3）是冬瓜子……通过这个编制索引的应用是不是可以检测出学生对“数对”是理解的呢？但是，这些“小药工”（学生）在真正使用这个索引去抓药的实践过程中，发现查表格还不如看柜子上的文字更快，也就是说：他们制作的这个“数对索引”根本起不到帮助他很快确定药品位置的作用，即没能用“数对”解决实际问题。也就是说，这时候，学生学习的数学还没有进行到底，遗憾的是，现实教学中，我们很多的数学教学都到此为止了。这时候的学生，他理解他所学的知识，会做同类型的数学题，却不能用他所学的数学知识高效地解决实际问题。其实，这样习得的所谓的数学知识乃是“死”的数学、空洞的数学，也就是没有教到底、学到底的数学。那么，我们还需做什么，才能称得上真正的教到了底、学到了底的数学呢？全景式数学教育是这样做的。在以上教与学的基础上，我们引导孩子继续研究这样编制的数对索引问题到底出在哪里？如何改进才能利用它很快地确定我们要找的药品位置？经过讨论和实践验证，学生们把数对索引改进为：药名首字的首字母+数对，比如：找“安息香”这味药：直奔字母A→找到“安息香”药名→再查它后面的数对→找到“安息香”。这样，“数对”真的就能帮助自己（司药）很快地找到要抓的那味药了，索引真正成为索引，“数对”真正地发挥了它独特的数学价值，成为解决实际问题的利器，而不仅仅是会做数学题。学生在实际的抓药实践中，又发现了新问题：首字母相同的药有很多种，如地肤子、杜仲、丁香等等，如何更快地用字母找到药品，继而更快地确定位置（即数对）。学生经过研究又发明了“首字首字母（大写）+次字首字母（小写）+数对”的进阶索引。我们尝试换个药店情境：一个大药店里，多处位置，有大小、高矮不一的“药柜”，面对这种情形，数对索引如何编织？学生又编制了“字母+数（指几号柜）+数对”的索引。后续，有的学生又发现了这样的现实和问题：有的药店的药柜，每个抽屉左、右两边装着不同药：学生针对此种情况，又发明了“字母+数对+◐或◑的索引”……学到了这里，学生已经能够使用“数对”解决了更多更复杂的确定位置问题了。全景式数学认为还可以再进一步，陪伴孩子走向更远、更广阔的未来。我们再引领学生认识地球上的经纬网（见下图），引入二维坐标，让学生直观浪漫地描述位置、刻画、描述图形，即三个顶点的坐标（数对），决定了这个三角形的形状、大小和位置，开阔学生视野。 然后再浪漫认识三维坐标：烤箱里这个蛋挞（红圈中的）的位置就可以表示为（4，2，3），即第4列第2层第3个。至此，学生学得已经很丰富、很透彻，学生解决问题得能力也更强了，是不是就到底了呢？全景式数学教育认为还是不够！我们还可以再深刻一点，陪伴孩子走向更深层的数学本质。为此，我们让孩子对比数对、三维坐标、四维坐标……分析、寻找内在共通统一的东西，孩子发现原来，它们的共性共策，都是按照一定维序，一个数表示一维上过这个数所示点位的一条直线，再结合起来，就有了这些线相交共有的一个且唯一的一个点，就确定某个或某些事物的位置。至此，学生对“数对”认识的理性程度是不是更加地具体了？是的，现在和第二阶段相比真的不一样了，他们“数对”地看、思考、刻画与表达现实世界的状况也更加得不一样了。长此以往这样地教，学生才能真正具备解决问题的实践能力，才能实现认识的第二次飞跃，才能真正逼近或者抵达理性的具体阶段。 辩证唯物主义认识论认为只有在第二次飞跃中，理性的认识才能得到检验、得到修正、补充、深化和发展。笔者上述的案例中的子活动3、子活动4、子活动5都是在实践、应用中“综合和反思研究对象的一系列认知”，让学生的学习实现第二次飞跃，达到理性具体阶段。这时候的“数学”才是真正解决问题的数学，有用的数学，活的数学，有生命的数学；才是更深刻的数学，更本质、更理性、更数学的数学。我们认为：达成这些目标的教学，才算得上是真正教到底、学到底了的教学。这样的教与学，能让学生抵达理性具体，能对他所学的数学内容认识更完整、理解更深刻。这样学会数学的孩子，不仅能做题，更能用数学做真事、做成事，更智慧、更充分地“让孩子发现数学的力量，发现自身的力量”（全景式数学的两大核心目标），体验到自身在数学方面的价值实现感，真正感受到自己在数学方面成长的成就感和幸福感，这对学习而言至为重要！拓展和创生更大、更宽、更广的让学生充分真实行动的环境和空间
全景式数学教育主张的“数学学习就是让学生用数学做真事、真做事、做成事”和教育家杜威的思想是一致和契合的。教育家杜威也曾经说过这样一句话：“教育是给学生一些事情去做，不是给学生一些东西去学，结果他们自然就学到了一些东西。” 我们都知道，做真事不一定都发生在教室里，所以只要有可能，我们便把孩子从教室里解放出来，到事儿发生的真实环境中去做与学，比如我们到操场上去研究速度，到马路边走出里和千米，我们就在瓶瓶罐罐中品尝分数和倍数的味道，我们在承包的菜地里解决垄数、株距、种子、肥料、覆膜……等真题。我们在餐厅里完成最受欢迎的美食的统计，我们在公园里断方向与位置，我们在校园里解决真实的周长和面积问题，我们在间隔遍布的中庭和路边解决植树问题等等。全景式数学教育试图在“生动”的空间和环境等方面，能有更多更大的改变和突破，原来课堂完全可以有另一种样子，可以有第二空间，第三空间……第N空间，而不是仅仅在教室里。这是传统学校每天必练的口算题。每天一张，饭可以不吃，这张题卡不可不做。我专门采访过学生，你喜欢做吗？学生大都是斩钉截铁：不喜欢。我们也适当地笔练。同时我们还会变着法儿玩口算。比如，用加法器练口算，用蛋壳练加法，不仅如此，孩子在家还自创学具玩口算。学生不仅算，还玩摸高五次、摇头晃脑、彼此抱抱，左三圈右三圈脖子扭扭屁股扭扭、还有幸运向前三步、奖励五元、高歌一曲等。国庆假期，一年级的啊呜同学的妈妈就发给郑老师一个视频，孩子睁开眼的第一句话就是“我要做口算”。有的老师要问了，这个飞行棋孩子玩几天不也腻了吗？你说的太对了。孩子本来就是善变的。所以我们赫贤全景式数学团队的每一位教师，都从心里悦纳一个现实：“小孩子本身就是善变的。”我们怎么办？先于孩子做出改变，以万变应万变。比如：我们还没等孩子玩腻飞行棋，就换了活动——让孩子进行跳加法：我们在地板上贴上几行的数1到数10，计算2加6时，学生先站在2的位置，然后连续跳六下，就到达了数8的位置。数学老师更明白，这不光练习了加法，更理解了加法的本质，就是在一个数基础上再数数。跳加法还没玩腻，我们接着来掷巨型色子玩加法→扑克玩加法→拍拍乐玩加法→跳房子玩加法→加法棋玩加法……当然，我们也不拒绝电子游戏，我们还给孩子提供网址。午饭后的休闲时光，我们的孩子还可以到操场上玩摇摇乐练加法。每个盒子里都装有20各乒乓球，孩子们需要在规定时间内用身体的扭动让背后盒子的乒乓球尽可能多掉出来。通过统计剩余乒乓球计算自己和小组摇掉的总数，排出个人和小组名次。我们这样变着法儿玩着算，完全可以对口算进行扎扎实实的训练，让孩子更快乐轻松地实现自动化。能算、能考的同时，还能很好地涵养和丰沛孩子对计算的良好情感。原来所有的数学活动都有办法设计得生动，让人心动，让学生迷恋，让学生乐此不疲。原来数学和数学的学习，完全可以激活学生全部的身心，深入学生的心灵深处，触动学生的灵魂。原来数学完全可以在养知、养智、养能的基础上，滋养孩子的身心灵。——这也是全景式数学经过九年多探索的最成功之处：在保证孩子四基扎实、成绩优秀、素养得到很好涵养的基础上，更好地解决学生数学情感和心理的问题。我们全景式数学教育团队将为建设更理想的数学教育而不懈努力。作者简介：张宏伟，南京赫贤学校学术总监，当代教育家杂志社副总编辑，北京全景化教育研究中心主任，北京市特级教师，教育部基础教育课程教材中心指导教师，青海省政府柔性引进的课程专家，中国教师报首席专家，国标青岛版教材编写组成员。34年一直扎根一线，创建了全景式数学教育体系，出版了《一样的数学，不一样的教学》等专著。
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