从BW= 0.35/Tr 怎么推导来的说起

摄于网师园

在很多资料中， 都会看到信号带宽BW=0.35/Tr这个公式。而说到这个公式，还得从高斯响应示波器说起。

对于数字信号，信号带宽由上升时间Tr (10%-90%)确定，而高斯响应表达式：

将其简化为一阶低通RC滤波器，其阶跃响应为：

根据10%~90%上升时间的定义，Tr=t2-t1

则推算出信号上升时间：

看到这个2.197，想到了2.2RC一些关于容性发射的内容：

当信号上升边小于电容器的充电时间常数，那么最初电容器上的电压将迅速上升，这时阻抗很小。随着电容器充电，电容器上的电压变化率dV/ dt 缓慢下降，这时电容器阻抗将明显增大。如果时间足够长，电容器充电达到饱和，电容器就相当于断路。

这里的时间常数是指电压上升到电压终值的1/e或37%所需的时间。

RC电路，不管是串联还是并联电路，有个转折频率，信号带宽约等于此转折频率，加上信号上升时间公式，推算出：

需要注意的是，以上公式是基于一阶低通滤波器频响推导的，对于带宽小于1GHz的示波器而言，基本都适用。

如果是更高带宽的中高端示波器，其通道依然相当于低通滤波器，但通常并不是一阶滤波器的频响。

很多示波器提供多种响应优化方式，可根据不同的应用测试需求而灵活的选择使用其中一种响应方式。

因此上述公式中的系数不再是0.35，而是位于0.4~0.45之间。

还记得平坦响应示波器给出的信号转折频率：

当然，示波器自身的上升时间，还有探头本身的上升时间，都要考虑，所以给出测试信号容限经验值为：整个测试系统的上升时间建议不超过待测信号上升时间的1/5。

最后说说时间常数。针对不同应用和系统，时间常数标准也不同。

先说说时间常数的定义：表示某物态过渡反应时间过程的常数。具体来说，我们将某按指数规律衰变的量，将其幅值衰变为1/e倍时所对应的时间，定义为该过程时间常数的基本值。

传热系统：时间常数就表示了温差缩短到36.8%所需要的时间。

电机系统：时间常数表示的是电机从启动到转速达到空载转速的63.2%所需的时间。

信号系统：时间常数是电压上升到电压终值37%所需的时间。而这个时间和传热系统差不多，个人的猜测是不是电热能量守恒的缘故。

参考文献：

https://mbb.eet-china.com/blog/1570274-378911.html

https://www.zhihu.com/question/38722522

https://mbb.eet-china.com/blog/1570274-378911.html