平面向量的数量积及应用举例
1．向量的夹角
| 定义 | 图示 | 范围 | 共线与垂直 |
| 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 |
| 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是 0°≤θ≤180° | 若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直 |
2.平面向量的数量积
| 定义 | 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b |
| 投影 | |a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影 |
| 几何意义 | 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积 |
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
| 结论 | 几何表示 | 坐标表示 |
| 模 | |a|＝ | |a|＝ |
| 夹角 | cos θ＝ | cos θ＝ |
| a⊥b的充要条件 | a·b＝0 | x1x2＋y1y2＝0 |
1．辨明三个易误点
(1)①0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；②0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．
(2)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
(3)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．
2．有关向量夹角的两个结论
(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；
(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．
1．(2016·高考全国卷甲)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B．－6
C．6 D．8
D [解析] 由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，
由(a＋b)⊥b，
得(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，
解得m＝8，故选D.
2．(2016·高考全国卷丙)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
A [解析] 由两向量的夹角公式，
可得cos ∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.
3．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( )
A．－ B．0
C. D．3
A [解析] 依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－，故选A.
4. 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
[解析] 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos120°＝－2.
[答案] －2
5．平面向量a，b的夹角为60°，a＝(2，0)，|a＋2b|＝2，则|b|＝________．
[解析] 因为a＝(2，0)，所以|a|＝2，
把|a＋2b|＝2两边平方可得a2＋4a·b＋4b2＝12，
即|a|2＋4|a|·|b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝12，
代入数据可得22＋4×2|b|×＋4|b|2＝12，
整理可得|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1.
[答案] 1
平面向量数量积的运算
(1)设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )
A．－ B．－
C. D.
(2)(2015·高考天津卷)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．
【解析】 (1)a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.
(2)法一：取，为一组基底，则＝－＝－，
＝＋＋＝－＋＋＝－＋，
所以·＝·
＝2－·＋2
＝×4－×2×1×＋＝.
法二：以AB所在直线为x轴，A为原点建立如图所示的坐标系．
由于AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，所以CD＝1，等腰梯形ABCD的高为，所以A(0，0)，B(2，0)，D，C，所以＝，＝(1，0)，又因为＝，＝，所以E，F，因此·＝·＝×＋×＝＋＝.
【答案】 (1)D (2)
若本例(2)条件变为“＝λ，＝”，其他条件不变，求·的最小值．
[解] 由本例(2)法二知：
因为 ＝λ＝，所以E.
因为 ＝＝，所以F.
所以·＝·
＝＋λ＝＋＋λ
≥＋2 ＝.
当且仅当＝λ，即λ＝时取等号，符合题意．
所以·的最小值为.
向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．
[通关练习]
1．(2017·福建省毕业班质量检测)在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝( )
A．－ B．－
C. D.
C [解析] 因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以·＝·(－)＝×32－×22＋·＝＋×3×2cos＝，故选C.
2．(2017·广州市高考模拟)已知向量a，b满足|b|＝4，a在b方向上的投影是，则a·b＝________．
[解析] a在b方向上的投影是，设θ为a与b的夹角，则|a|·cos θ＝，a·b＝|a|·|b|·cosθ＝2.
[答案] 2
3.
[解析] 法一：(通性通法)以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)，则E，F，＝(b＋a，c)，＝(b－a，c)，＝，＝，＝，＝，由·＝b2－a2＋c2＝4，·＝－a2＋＝－1，解得b2＋c2＝，a2＝，则·＝(b2＋c2)－a2＝.
法二：(光速解法)设＝a，＝b，则·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，·＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，解得|a|2＝，|b|2＝，则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.
[答案]
平面向量的夹角与模
平面向量的夹角与模是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度适中．
高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下四个命题角度：
(1)求两向量的夹角；
(2)求向量的模；
(3)两向量垂直问题；
(4)求参数值或范围．
[典例引领]
(1)已知在△ABC中，D为BC的中点，若∠BAC＝120°，·＝－1，则||的最小值为( )
A. B.
C. D.
(2)(2017·高考山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
【解析】 (1)显然有||＝|＋|.
因为·＝－1，∠BAC＝120°，
所以||·||＝＝2，
可得||2＝(||2＋||2－2)≥(2||·||－2)＝，
所以||min＝.
(2)因为＝，
故＝，
解得λ＝.
【答案】 (1)B (2)
(1)利用数量积求解长度的方法
①|a|2＝a2＝a·a；
②|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)求两个非零向量的夹角的注意事项
①向量的数量积不满足结合律；
②数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不共线时两个向量的夹角就是钝角．
[题点通关]
角度一 求两向量的夹角
1．(2017·湖北优质高中联考)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是( )
A. B.
C．－ D．－
A [解析] a－c＝(3－k，3)，因为(a－c)∥b，
所以(3－k)×3＝3×1，
解得k＝2，当k＝2时，cos〈a，c〉＝＝＝，故选A.
角度二 求向量的模
2．(2017·高考全国卷乙)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a ＋2 b|＝ ________ .
[解析] 易知|a＋2b|＝
＝＝2.
[答案] 2
角度三 两向量垂直问题
3．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.求k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
[解] 由已知得，a·b＝4×8×＝－16.
因为(a＋2b)⊥(ka－b)，
所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，
ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0.
所以k＝－7.
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
角度四 求参数值或范围
4．已知△ABC是正三角形，若－λ与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．
[解析] 因为－λ与向量的夹角大于90°，所以(－λ)·<0，即||2－λ||·||cos60°<0，解得λ>2.故填(2，＋∞)．
[答案] (2，＋∞)
向量数量积的综合应用
(2017·高考江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
【解】 (1)因为a＝(cos x，sin x)，
b＝(3，－)，a∥b，所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故
cos x≠0.于是tanx＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos .
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，
f(x)取到最小值－2.
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
(2017·广州海珠区摸底考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
[解] (1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.
因为0<A<π，所以sin A＝＝＝.
(2)由正弦定理，得＝，则sin B＝＝＝，因为a>b，所以A>B，则B＝，由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1.
故向量在方向上的投影为
||cos B＝ccos B＝1×＝.
——平面向量与不等式的交汇
(2015·高考福建卷)已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )
A．13 B．15
C．19 D．21
【解析】
以点A为原点，，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．
则A(0，0)，B，C(0，t)，
所以＝(1，0)，＝(0，1)，
所以＝＋＝(1，0)＋4(0，1)＝(1，4)，
所以点P的坐标为(1，4)，＝，
＝(－1，t－4)，
所以·＝1－－4t＋16＝－＋17≤－4＋17＝13.当且仅当＝4t，
即t＝时取“＝”，
所以·的最大值为13.
【答案】 A
求平面向量数量积的最值(或取值范围)的常用方法有两种：
一是“定义法”，即利用平面向量数量积的定义，把两个向量的数量积转化为关于参数的函数，再利用基本不等式或函数的单调性等求其最值(或取值范围)；
二是“坐标法”，即把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示，结合解析几何的思想方法求其最值(或取值范围)．
已知x，y满足若＝(x，1)，＝(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是( )
A．1 B.
C. D.
D [解析] 因为
1．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1，1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于( )
A．－2 B．2
C．0 D．2或－2
B [解析] n·＝n·(＋)＝n·＋n·＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.
2．(2017·山西省第二次四校联考)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为( )
A. B.
C. D.
B [解析] 因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝.
3．(2017·贵州省适应性考试)若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝( )
A．－ B.－1
C. D.
A [解析] 由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋＝0，解得λ＝－，选项A正确．
4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C [解析] 由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，
所以2·＝0，所以⊥.
所以∠A＝90°，又因为根据条件不能得到||＝||.故选C.
5．已知正方形ABCD的边长为2，点F是AB的中点，点E是对角线AC上的动点，则·的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [解析] 以A为坐标原点，、方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，设E(λ，λ)(0≤λ≤2)，则＝(λ，λ－2)，＝(1，2)，所以·＝3λ－4≤2.
所以·的最大值为2.故选B.
6．(2017·河北衡水中学四调)已知和是平面内的两个单位向量，它们的夹角为60°，则2－与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
C [解析] 设2－与的夹角为θ，则cos θ＝，又与是平面内的两个单位向量，则||＝1，||＝1，则(2－)·＝－(2－)·＝－2·＋2＝－2||·||cos60°＋||2＝0，所以cosθ＝0，又0°≤θ≤180°，所以θ＝90°，故选C.
7．(2016·高考全国卷乙)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．
[解析] 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2得a⊥b ，则m＋2＝0，所以m＝－2.
[答案] －2
8．(2017·安徽皖江名校联考)在△ABC中，已知向量＝(2，2)，||＝2，·＝－4，则△ABC的面积为________．
[解析] 因为＝(2，2)，所以||＝＝2.因为·＝||·||cosA＝2×2cos A＝－4，所以cosA＝－，因为0＜A＜π，所以sinA＝，所以S△ABC＝||·||sin A＝2.
[答案] 2
9．已知两个力F1，F2的夹角是直角，且它们的合力F与F1的夹角是60°，|F|＝10 (N)，则F1和F2的大小分别是________N.
[解析] 如图所示，表示F1，表示F2，
以与为邻边作矩形OADC，
则表示F，在Rt△OCD中，
∠COD＝60°，|F|＝10(N)，
所以|F1|＝|F|cos 60°＝10×＝5(N)，
所以||＝|F|sin60°＝10×＝5(N)，
又因为|F2|＝||，所以|F2|＝5(N)，
所以F1和F2的大小分别为5 N和5 N.
[答案] 5，5
10．(2017·石家庄市教学质量检测)已知向量a，b，c满足|a|＝，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·(2b－3c)＝0，则|b－c|的最大值是________．
[解析] 由题意可设A(1，1)，B(3，0)，C(x，y)，则a＝，b＝，c＝＝(x，y)，因为(c－2a)·(2b－3c)＝0，所以(x－2)(6－3x)＋(y－2)(0－3y)＝0，(x－2)2＋(y－1)2＝1，即点C在以(2，1)为圆心，1为半径的圆上，所以|b－c|≤＋1＝1＋，故|b－c|的最大值是1＋.
[答案] 1＋
11．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
[解] (1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6.所以cosθ＝＝＝－.
又因为0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||sin ∠ABC＝×4×3×＝3.
12．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求c边的长．
[解](1)m·n＝sin A·cos B＋sin B·cos A
＝sin(A＋B)，
对于△ABC，A＋B＝π－C，0＜C＜π，
所以sin(A＋B)＝sinC，
所以m·n＝sin C，又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cos C＝，C＝.
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，可得
2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝18，所以·＝18，
即abcos C＝18，ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，
所以c＝6.
13．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若＋＝，则a的值为( )
A．±1 B．±
C．± D．±2
A [解析] 因为A，B，C均为圆x2＋y2＝2上的点，
故||＝||＝||＝，
因为＋＝，
所以(＋)2＝2，
即2＋2·＋2＝2，
即4＋4cos∠AOB＝2，故∠AOB＝120°.
则圆心O到直线AB的距离d＝·cos 60°＝＝，即|a|＝1，即a＝±1.
14．(2017·昆明质检)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝(a，b是任意的两个向量)．
对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a⊗b＝b⊗a；
②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)；
③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；
④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
[解析] 当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④.
[答案] ①④
15．(2017·安康模拟)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，2)、B(4，1)、C(－6，9)．
(1)若AD是BC边上的高，求向量的坐标；
(2)若点E在x轴上，使△BCE为钝角三角形，且∠BEC为钝角，求点E横坐标的取值范围．
[解] (1)设D(x，y)，则＝(x，y－2)，
＝(x－4，y－1)，
由题意知AD⊥BC，则·＝0，
即－10x＋8(y－2)＝0，即5x－4y＋8＝0，①
由∥，得8(x－4)＝－10(y－1)，
即4x＋5y－21＝0，②
联立①②解得x＝，y＝，
则＝.
(2)设E(a，0)，则＝(4－a，1)，＝(－6－a，9)，
由∠BEC为钝角，得(4－a)·(－6－a)＋9＜0，解得－5＜a＜3，
由与不能共线，得9(4－a)≠－6－a，解得a≠.
故点E的横坐标的取值范围为(－5，3)．
16．已知向量a＝，b＝，实数k为大于零的常数，函数f(x)＝a·b，x∈R，且函数f(x)的最大值为.
(1)求k的值；
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若＜A＜π，f(A)＝0，且a＝2，求·的最小值．
[解] (1)由题意知，f(x)＝a·b＝·＝ksincos－kcos2
＝ksin－k·
＝－
＝－
＝sin－.
因为x∈R，所以f(x)的最大值为＝，
则k＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝sin－，
所以f(A)＝sin－＝0，
化简得sin＝，
因为＜A＜π，所以＜－＜，
则－＝，解得A＝.
因为cos A＝－＝＝，
所以b2＋c2＋bc＝40，
则b2＋c2＋bc＝40≥2bc＋bc，
所以bc≤＝20(2－)．
则·＝||||cos＝－bc≥20(1－)，
所以·的最小值为20(1－)．
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