高考数学之数列考核题型

高考主要考查两类基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用，若以解答题形式考查，往往与解三角形交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．

1．(必修5 P68复习参考题B组T1改编)在公比大于1的等比数列{a_n}中，a₃a₇＝72，a₂＋a₈＝27，则a₁₂＝(　　)

A．96　　　　　　　　 B．64

C．72              D．48

A　[解析] 由题意及等比数列的性质知a₃a₇＝a₂a₈＝72，又a₂＋a₈＝27，

所以a₂，a₈是方程x²－27x＋72＝0的两个根，

所以或又公比大于1，

所以所以q⁶＝8，即q²＝2，

所以a₁₂＝a₂q¹⁰＝3×2⁵＝96.

2．(必修5 P58练习T2改编)等比数列{a_n}的前n项之和为S_n，S₅＝10，S₁₀＝50，则S₁₅的值为(　　)

A．60              B．110

C．160             D．210

D　[解析] 由等比数列前n项和性质知，S₅，S₁₀－S₅，S₁₅－S₁₀成等比数列，即(S₁₀－S₅)²＝S₅(S₁₅－S₁₀)，

所以S₁₅＝＋S₁₀

＝＋50＝210.故选D.

3．(必修5 P39练习T5改编)设等差数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．

[解析] 因为{a_n}，{b_n}为等差数列，所以＋＝＋＝＝.

因为＝＝＝＝，

所以＋＝.

[答案]

4．(必修5 P45练习T3，P47习题2.3B组T4联合改编)集合M＝{m|m＝2n，n∈N^*}共有n个元素，其和为S_n，则＝________．

[解析] 由m＝2n(n∈N^*)知集合M中的元素从小到大构成首项a₁＝2，公差d＝2的等差数列．

所以S_n＝n×2＋×2＝n²＋n＝n(n＋1)．

所以＝＋＋…＋

＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.

[答案]

5．(必修5 P44例2改编)等差数列{a_n}的前n项之和为S_n，且a₅＝28，S₁₀＝310.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)记函数f(n)＝S_n，(n∈N^*)，A(n，f(n))，B(n＋1，f(n＋1))，C(n＋2，f(n＋2))是函数f(n)上的三点，求证△ABC的面积为定值，并求出其定值．

[解] (1)因为a₅＝28，S₁₀＝310.

所以

解得a₁＝4，d＝6.

所以a_n＝4＋(n－1)×6＝6n－2.

(2)由(1)知S_n＝4n＋×6＝3n²＋n.

所以A，B，C的坐标分别为(n，3n²＋n)，(n＋1，3(n＋1)²＋(n＋1))，(n＋2，3(n＋2)²＋n＋2)．

所以△ABC的面积S＝[(3n²＋n)＋3(n＋2)²＋(n＋2)]×2－[(3n²＋n)＋3(n＋1)²＋(n＋1)]×1－[3(n＋1)²＋(n＋1)＋3(n＋2)²＋(n＋2)]×1

＝(6n²＋14n＋14)－(3n²＋4n＋2)－(3n²＋10n＋9)

＝3.

即△ABC的面积为定值3.