负数教学的重构：数学史的视角
蔡宏圣
课前冥思
在“数学是一种文化”理念的感召下，数学史已走进了我们的课堂，尤其在一些公开课、研究课中莫不是如此。例如“负数”教学中在课尾用多媒体出示“你知道吗”：中国是最早认识和使用负数的国家。据早在2000多年前的《九章算术》记载，那时的人就有了“粮食入仓为正，出仓为负；收入的钱为正，付出的钱为负”的思想。1700多年前，我国数学家刘徽在注解《九章算术》时，更明确地提出了正负数的概念，并用不同颜色的算筹来表示它们。这些认识中国比印度要早600多年，比西方国家要提前1500多年。当原先的教学设计和数学史的简单链接似乎成了模式，特别是当孩子们实际上并不理解其中的数学意义，我们仍乐此不疲的时候，那不禁要问：现在的数学课堂是不是都必须戴上一顶数学史的帽子？数学史是不是只能以这样的形式走进课堂？
在拷问上述教学现象的促动下，笔者产生了重构负数教学的冲动。因为新的教学意在探求数学史走进课堂的更好方式，因而从数学史的视角来思考教学的重新设计也就十分自然和贴切。与此同时，这也是一个很有价值的话题。
关于负数的产生和发展，大多数的数学史著作都有和上文“你知道吗”相类似的表述。但立足于数学教育考量，一个教师知道和不知道这一段史实，他设计的教学能有多大的区别呢？可能也就在于课尾有或者没有类似于“你知道吗”的教学安排而已。显然，如果仅仅停留于数学知识产生发展事实性史实的考察，那么并不能当然地给数学教育带来有益的启示。数学的历史和数学的教育虽然都发端于数学，但那是两个并不完全相同的领域，数学史不可能信步闲庭般地融入数学教育，它需要教师的再创造。换言之，从数学史到数学教育，更需要我们琢磨人类认识提升所经历的阶段，其中走过的弯路、碰到的认知障碍等等。拿负数来说，我们更应该察觉到这样的史实和在此基础上的追问：从《九章算术》中有关负数的记载算起，直到1819年李锐在《开方说》中，提出方程之根也可以是负数，中国数学家使用负数到在数学上接纳负数用了1800多年，而西方数学家用1000多年。那人类为什么使用、接纳负数比起认识自然数和分数更为曲折和艰辛？
翻开数学史，我们可以看到，早在数学的萌芽时期，人类对于负数的感知和使用就比较迟缓。这其中的原因不仅在于自然数、分数的认识，来自人类丰富的数数、分配实物和测量的实践活动，更重要的是这些数都有实物为例，而负数却不能“可视”，虽也有负债、欠帐之说，但却不能具体指物为负。在中国之外，印度是认识和使用负数比较早的国家，其最早记载见于婆罗摩笈多（公元7世纪）的著作《婆罗摩历算书》中，他把正数称为“财产”，负数称为“债务”，并据此来解释正负数的加减运算，印度人对负数的认识和使用鲜明地烙上了生活经验的痕迹。而古希腊从事数学、科学、哲学研究的人，不去搞商业和贸易，不关心实际问题，因而西方数学界几乎没有使用负数的生活经验积累，直到13世纪才对负数有感知也就不难理解了。许多数学史的评述都认为，相比而言，中国古代对负数的认识，是世界上任何一个民族都望尘莫及的。表面上看，中国的负数产生于解线性方程组时的系数运算，是数学知识内部相互作用的结果，但实质并不如此。对古中国数学发展的深入分析可知，在长达二千多年的时间里，中国数学家始终借助于算筹这一具体可见的计算工具从事数学活动。当一列数与另一列数相减，同时出现以少减多和以多减少的情况时，在算筹操作中就出现了“两算得失相反”的形象（这里的算即指算筹）。正是由于“并减之势不得广通”，为使编乘、直除两种系数的变换操作彻底施于方程，才想出了令算筹“正负以名之”的做法，规定了用不同颜色的算筹以及算筹的斜正来区别正负的形式，而且制定了正负算之间进行加减运算的法则。从思维角度看，正负术的产生明显缺乏逻辑思维的过程，它只是一种解方程消元的辅助技巧而已，是术而不是数，这种判断可以从多个方面得到印证。在《九章算术》中，正负术并没有被独立地运用于解决其他数学问题，比如盈不足章中的两盈和两不足等问题，甚至在方程章中，所构造的问题也往往恰有正数解，涉及二次或二次以上方程的求解，一般也只给出一个正根就结束了解答。①也就是说，负数连作为一个等式解的结果的资格都没有，这种状况充分说明了负数并获得像正数那样的独立意义。因此从这个意义上说，古中国对于负数的认识并不比其他民族高明多少。而对于负数的学习来说，给学生们寻找一种能承载负数本质意义的合适的现实模型也就显得尤其重要。
当我们考证人类感知和使用负数实际上都源于直观的同时，也感受到了直观对于在数学上接纳负数带来的负面效应。古中国的数学历来关注数量及其运算，对数的本质从来没有兴趣去考察。所以，中国数学界迟迟不能构建对负数的理性认识也就不足为怪。西方数学界继承了古希腊开始的科学与哲学传统，历来注重抽象的逻辑思维和演绎推理，但数学史上，把负数称为“荒谬的数”、“虚假的数”的例子不在少数，涉及到的数学家也不乏大牌。但这样的史实对于教学的启迪是有限的，只能由此推测孩子们认识负数会有困难，我们需要更深入地探求，是什么阻碍着数学家们在理性上接纳负数？德国数学家斯蒂菲尔在《整数算术》中称从零中减去一个大于零的数得到的数“小于一无所有”，是“荒谬的数”。请注意，他在这里认为负数荒谬的原因是“小于一无所有”。换言之，其内在的逻辑是 1表示一件物体，2表示两件物体……，0表示什么都没有，“什么都没有”就到了尽头了，而负数比零还要小，比“什么都没有”还要少，这怎么可能呢？可见构建负数的理性认识，困难之处不在于概念本身的高度抽象性，而在于人怎么跨越和扩展自己的已有认识。从现代数学数系扩展的理论看，每引入一种新数都要符合数系扩展的一系列公理原则，但这是后话。人类最初要在数学上接纳负数，碰到的首要问题是：怎么把负数的意义和0的认识沟通起来！这可以从多个数学家的困惑中进一步窥见，例如帕斯卡认为：从0减去4纯粹是胡说！笛卡尔也认为负数是“不合理的数”，19世纪英国数学家弗伦德认为“只有那些喜欢信口开河、厌恶严肃思维的人”才“谈论比没有还要小的数”，如此等等。②
从数学史的视角慎思明辨至此，新的教学何去何从似乎已不难选择。新的教学无疑要关注：注意引发学生学习新数的情感需求；要寻找尽可能多地承载负数本质意义而又具体直观的教学模型，以顺应抽象认识源于具体直观的人类认识逐步提升的历史顺序；注重沟通负数和0之间的关系，以避免形成以后学习的认知障碍。无容置疑，从教学经验和教学心理学的角度，我们也有可能通过缜密的思考提出这样的教学建议，但那种从教学法和心理学的一般规律出发的教法设计，并不能解释在“认识负数”的教学中这样教的独到价值，或者不能恰恰提出这三条教学建议。换言之，一个老师如果离开数学史，纯粹地从教学法和心理学的一般规律出发，是不能保证所设计的教学环节契合学生数学思维过程的。这种状况恰恰印证了数学教育的一个原理，即一个数学知识为什么这么教，而不那么教，不是由教学法和心理学的原理所决定的，而是由儿童的数学现实和数学的学科本质决定的。数学史为新教法的设计提供了新的灵感和视野。
课堂实施
一、导入
1、师：说起数，我们可不陌生。我们已经学过了哪些数？
随学生回答板书几个自然数和分数。
师：有多少个？
生：无数个。
师：这会儿，有些同学可能有想法了，我们已经认识了无数个数，为什么还要学习一种新数呢？（停顿）因为生活给我们提出了这样的要求。
2、课件出示情境：两辆公交车分别有3人上车和3人下车。
| 上下车的情况 | |
| 3号车 | 3人 |
| 5号车 | 3人 |
师：老师把图中3号车上车3人、5号车下车3人表示成这样：
你觉得已经把图意表达清楚了？
生：没有，看不出到底是上车3人还是下车3人。
师：也就是说虽然都是3人，但两个3人表示的实际意义是相反的。它们是一组相反意义的量（板书：相反意义）。那你能用自己的方式把它们区别开吗？
二、探究
1、交流大家的想法。绝大多数学生在数前加“上车”、“下车”，5名同学加了不同方向的箭头，2人加正负号。
2、介绍人类探究的历程并比较各种表示方法。
师：相反意义的量怎样表示，这个问题在历史上，数学家们也费了很多周折，他们想了各种各样的方法。例如用不同的颜色来区分，画斜杠来表示，加不同的符号表示。（随讲解课件出示历史上的各种写法，用“+”、“ -”的写法也出示在其中）
师：呵呵怎么样，是不是和我们刚才想得大差不差。真是方法各有各的不同，但道理是一样的，那就是我们以前学的数已经不够用了。我们需要寻找一种新的表示方法。哎，那这么多写法中，你觉得哪种写法的数学味最浓呢？
生：用加减号的最有意思。上车3人，车上的人数就加3人；下车3人，车上的人数不就是减少3人吗。
师：对，就是这样的道理，20世纪初，一有数学家提出这样的方式，就得到了大家的认可，所以一直沿用至今。但读法上有了变化，分别读作正3和负3，符号分别叫正号和负号。（板书+3、-3）
3、试一试：下面哪两个量是一组相反意义的量？用线连一连，并用加“+”、“-”的方式表示它们。
赢了2次 体重减轻二分之一千克
收入1500元 下降0.5米
上升0.6米 输了5次
体重增加五分之四千克 支出1300元
请一学生上黑板板演。
4、概括：为了表示相反意义的量，今天我们接触了一种新数，我们称之为负数，前面的符号就叫做负号。而原先那些数就叫做正数，前面的符号自然就叫做正号。在表达正数的时候，有时前面的正号可以不写。
5、写几个正数和负数，和同座交换着读读写写。
三、深究
1、找相反意义的量。
师：谁能说说和“零上2摄氏度”意义相反的量是什么？
学生回答后，要求其读出意义相反的意思来，再追问：零上2摄氏度和零下2摄氏度，分别是哪里之上2摄氏度和哪里之下2摄氏度？并要求用正负号表示它们。
2、尝试着在空白的温度计上标出这两个刻度。
师：老师这里提供的是一个空白的温度计图，相邻的两个刻度线之间相差1摄氏度，根据我们以前所学，0或者表示没有或者表示起点，写在最下面比较合适，那么上面一格是多少摄氏度？
生：1摄氏度。
师：再往上呢？随学生回答，依次标到7摄氏度。
师：在我们设计的温度计上找一找刚才的“+2。C”在哪里？
学生指出+2。C的位置后，老师作寻找状。并说：怎么没有-2。C呢？！
有学生上台还是指了2。C，马上引出了一大片反对声。“这是零上2。C，-2。C是零下2。C啊！”
师：哦，也就是说我们刚才设计的温度计中丢了零下的温度，哪零度以下还能不能有数了？有的话，应该标在哪里？请大家试着重新标示刻度，要求既能找到+2。C，也能找到-2。C。
3、交流和总结。
出示学生重新标示的温度计，讨论交流。抓住图2重点讨论：0摄氏度下面首先是零下几摄氏度；抓住图4重点讨论：零上温度、零下温度和0摄氏度的位置关系。最后总结：只有确定了零摄氏度的位置，才能分清零上的温度和零下的温度，可见，零是正负数的分界。
4、看温度计，读出几个城市的气温。
5、在地貌海拔高度的情境中，用正负数表示珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔高度，进一步理解相反意义的相对性。
四、延伸
通过综合练习，加深学生对0的新意义、相反意义的相对性的理解。
1、李叔叔下楼：①李叔叔在5楼，他从5楼往上2层记作+2层，那从5楼往下1层，记作（ ）层。②李叔叔在2楼往上2层，可以记作（ ）层。③同样是4层，为什么一会儿被记作-1层，一会儿被记作+2层？
2、羽毛球重量：比赛用羽毛球规定了标准重量，4只羽毛球称重并和标准重量比较后记录为：1号球-0.35克、2号球0克、3号球+0.7克、4号球-0.2克。①2号球真的就重0克吗？②几号羽毛球最重？为什么？
教后畅想
说起数学，大家都公认它表现为抽象的概念、冷峻的符号、严密的推理，但这些却不能完全概括数学的本质特性。因为数学家在传播数学思想的时候，有个习惯，或者说是数学圈子里有这样的共识：必须建立起一套有关定义和抽象概念的完整体系，要以充分一般的方式陈述结果。这种要求大约在上世纪30年代的布尔巴基学派开始并加以固定的。这就意味着，原始的例子和逐步的抽象过程必须舍去。但舍去的直观认识、模糊认识，甚至是认识上的曲折错误并非毫无价值。对此，英国数学家阿蒂亚爵士（英国皇家学会会长、剑桥三一学院院长、牛顿数学研究所所长）说，一个新思想最有意义的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最原始的定义，以及最初的一些结果。③这对数学教育的启示是，一个数学概念，作为人类千百年思维抽象的结晶，仅仅看它的最终形式化表述，普通人就很难深入把握其确切的本质意义。抽象的数学概念只有放在历史背景中，和抽象活动的历史过程结合起来，才能变简练为丰富、变艰涩为生动，才能较完整地呈现出其经验性和演绎性二重统一的本质，进而才能更容易被学习者调动起全部的经验积累来支撑其建构概念的全部含义。就负数概念而言，其经验性表现为负数可以用来记录生活中相反意义的量，没有生活经验的积累，就会如同古西方人那样，会难于在生活经验层面上使用负数；其演绎性表现为负数还是一种运算中出现的新数，有了负数，才能实现关于加减运算的封闭。负数概念的这两层含义，并不是孤立和割裂的，在笔者看来，两者的统合在于深刻理解相反意义－－不仅仅是词面意义上的绝对相反，如向东和向西、支出和收入等等，而且是0作为分界点的相对相反，如和海平面相比的高低、和标准重量相比的多少等等。理解了0不仅仅可以表示没有（或起点），还可以作为一个标准来衡量一组数量的大小或区别一组数量的方向。由此，学生形成的认识虽然是初级的，但却具备了抽象为理性认识的可能，也就可以避免历史上诸多数学家类似于“比0还小的数是荒谬的数”的认知障碍，理解小数减大数的意义也就有了基础。更为一般地说，小学生对于所学知识的初步认识，不应该是所学知识的肤浅认识，而是在具体直观层面上的深刻认识，这就如同一个胚胎，虽然是初级的，但却具有了以后生长出成熟器官的全部生长点！引申出的这个数学教育的道理，历史以自己的方式同样阐释得十分清楚。历史上，人类在生活经验、具体直观的层面上使用了负数1000多年，积累了大量的关于负数的感性认识，但并没有自然而然地促使人类建构起负数的理性认识。这说明，孩子们在初步认识负数的过程，一味地在生活经验的层面上积累负数是表示相反意义的量的经验，并不会给以后对负数的理性学习带来多大价值。初步认识负数，更应该在具体直观的层面上对负数与0、负数与负数之间的关系有充分的感知（在温度计上设计刻度的教学意义也就在此），只有这才是学生以后顺利学习负数更多知识的财富。
著名数学家和数学教育家波利亚指出，“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断”。在笔者看来，波利亚的论述鲜明地阐述了，数学史在读懂儿童中的独到价值。但也正如“课前冥思”部分所言，我们很多教师只是把数学史作为数学文化的时尚外套，机械地链接在课堂教学中。为什么出现这种情况？可能有人认为，那是由于我国小学教师培养的体系决定了，我们的小学数学教师对于数学史是先天不足的。但在现代信息社会里，若想检索和获取人类已有的精神财富，应该是易如反掌的事情。所以说，我们的教师没有思考数学的史实对于儿童数学学习的启示，这才是当前数学史的使用游离于数学教育以外的主要原因。中国科学院李文林先生提出，“数学史除了为历史、为数学而历史之外，还应该为教育而历史。”其意即我们应该深入到学生数学学习的内部，保持着敏锐的“怎样促进儿童数学学习”的触角，在数学的历史渊源和抽象形式之间来回穿梭，捕捉其间隐藏着的丰富的教育基因。例如，通过数学发展史可以提炼出孩子们的认知发展规律，通过数学家的困难可以预见和解释学生的学习困难，根据历史发展的顺序可以作为安排学习层次顺序的参考，利用历史背景知识可以用来激发学生的兴趣，历史上的弯路和挫折可以用来减少学生的学习焦虑……由此，数学史在课堂中的使用应该可以有两种方式，一种正如大家目前都在使用的“链接式”，它外在于数学教育，虽然告诉了孩子们数学发展的史实，但其教育的价值是有限的；另一种是“融入式”，正如本课例中的教学突出了“负数和0关系”那样，数学史在课堂中虽然无形，但却成为了教学的内在线索或闪亮内核，它可以提升孩子们的数学理解，引领孩子们感悟数学的理性内涵。
数学史就其本质而言是人类数学思想的发展史，而数学教育的最高境界是数学思想的感悟和熏陶，从这个意义上，数学教育无疑能从数学史中汲取更丰富的养分，数学史也完全能够促使数学教育变得更厚重和深邃。
联系客服
