反比例函数的图象和性质的综合运用——教案

第2课时　反比例函数的图象和性质的综合运用

1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质；(重点)

2．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法；(重点)

3．探索反比例函数和一次函数、几何图形以及图形面积的综合应用．(难点)

一、情境导入

　　 如图所示，对于反比例函数y＝(k>0)，在其图象上任取一点P，过P点作PQ⊥x轴于Q点，并连接OP.

 　　试着猜想△OPQ的面积与反比例函数的关系，并探讨反比例函数y＝(k≠0)中k值的几何意义．

二、合作探究

探究点一：反比例函数解析式中k的几何意义

 如图所示，点A在反比例函数y＝的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．

解析：先设点A的坐标，然后用点A的坐标表示△AOC的面积，进而求出k的值．

解：∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴x_A·y_A＝k，∴S_△AOC＝·k＝2，∴k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝.

方法总结：过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k|的一半．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题

探究点二：反比例函数的图象和性质的综合运用

【类型一】 利用反比例函数的性质比较大小

 若M(－4，y₁)、N(－2，y₂)、P(2，y₃)三点都在函数y＝(k＜0)的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系为(　　)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

A．y₂＞y₃＞y₁  B．y₂＞y₁＞y₃

C．y₃＞y₁＞y₂  D．y₃＞y₂＞y₁

解析：∵k＜0，故反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．∵M(－4，y₁)、N(－2，y₂)是双曲线y＝(k＜0)上的两点，∴y₂>y₁>0.∵2＞0，P(2，y₃)在第四象限，∴y₃＜0.故y₁，y₂，y₃的大小关系为y₂＞y₁＞y₃.故选B.

方法总结：反比例函数的解析式是y＝(k≠0)，当k＜0时，图象在第二、四象限，且在每个现象内y随x的增大而增大；当k＞0，图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题

【类型二】 利用反比例函数计算图形的面积

 如图，直线l和双曲线y＝(k＞0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积是S₁，△BOD的面积是S₂，△POE的面积是S₃，则(　　)

A．S₁＜S₂＜S₃

B．S₁＞S₂＞S₃

C．S₁＝S₂＞S₃

D．S₁＝S₂＜S₃

解析：如图，∵点A与点B在双曲线y＝上，∴S₁＝k，S₂＝k，S₁＝S₂.∵点P在双曲线的上方，∴S₃＞k，∴S₁＝S₂＜S₃.故选D.

方法总结：在反比例函数的图象上任选一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第2题

【类型三】 反比例函数与一次函数的交点问题

 函数y＝的图象与直线y＝－x没有交点，那么k的取值范围是(　　)

A．k＞1  B．k＜1

C．k＞－1  D．k＜－1

解析：直线y＝－x经过第二、四象限，要使两个函数没有交点，那么函数y＝的图象必须位于第一、三象限，则1－k＞0，即k＜1.故选B.

方法总结：判断正比例函数y＝k₁x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k₁与k₂同号时，正比例函数y＝k₁x与反比例函数y＝有2个交点；②当k₁与k₂异号时，正比例函数y＝k₁x与反比例函数y＝没有交点．

【类型四】 反比例函数与一次函数的综合问题

 如图，已知A(－4，)，B(－1，2)是一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(m＜0)图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.

(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；

(2)求一次函数解析式及m的值；

(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，求点P的坐标．

解析：(1)观察函数图象得到当－4＜x＜－1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；(2)先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后把A点或B点坐标代入y＝可计算出m的值；(3)设出P点坐标，利用△PCA与△PDB的面积相等列方程求解，从而可确定P点坐标．

解：(1)当－4＜x＜－1时，一次函数的值大于反比例函数的值；

(2)把A(－4，)，B(－1，2)代入y＝kx＋b中得解得所以一次函数解析式为y＝x＋，把B(－1，2)代入y＝中得m＝－1×2＝－2；

(3)设P点坐标为(t，t＋)，∵△PCA和△PDB的面积相等，∴××(t＋4)＝×1×(2－t－)，即得t＝－，∴P点坐标为(－，)．

方法总结：解决问题的关键是明确反比例函数与一次函数图象的交点坐标所包含的信息．本题也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

三、板书设计

1．反比例函数中系数k的几何意义；

2．反比例函数图象上点的坐标特征；

3．反比例函数与一次函数的交点问题．

本节课主要是要注重提高学生分析问题与解决问题的能力．数形结合思想是数学学习的一个重要思想，也是我们学习数学的一个突破口．在教学中要加强这方面的指导，使学生牢固掌握基本知识，提升基本技能，提高数学解题能力.