群,环,域都是集合,在这个集合上定义有特定元素和一些运算,这些运算具有一些性质
群上定义一个运算,满足结合律,有单位元(元素和单位元进行运算不变),每个元素有逆元(元素和逆元运算得单位元)
例整数集,加法及结合律,单位元0,逆元是相反数,
正数集,乘法及结合律,单位元1,逆元是倒数
环是一种群,定义的群运算(记为+)还要满足交换律。另外环上还有一个运算(记为×),满足结合律,同时有分配律a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc,由于×不一定有交换律,所以分开写
例整数集上加法和乘法
域是一种环,上面的×要满足交换律,除了有+的单位元还要有×的单位元(二者不等),除了+的单位元外其他元素都有×的逆元
例整数集上加法和乘法,单位元0,1
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