二次函数培优-二次函数与平行四边形问题，注意分类讨论

【试题展示】

【考点分析】

本题考查的是二次函数综合题，主要考查了利用顶点式求抛物线析式以及待定系数法求直线解析式。另外第二问考查了三角形的面积问题以及平行四边形的存在性问题。试题综合性较强，本题难度较大！

【思路点拨】

(1)在已知条件中我们看到抛物线顶点坐标为(1，9)，自然而然想到可以设抛物线的顶点式为y＝a(x－1)^2+9，并且抛物线过A点，将A点代入抛物线顶点式即可求出a，进而可以表示出抛物线解析式。将B点横坐标代入抛物线进而可以得出B点纵坐标。

对于直线AB解析式，因为已知A,B两点坐标，所以可以设出直线解析式y＝kx＋b(k≠0)，然后代入A，B两点得出一个k，b的二元一次方程组，解出即可。

(2)通过审题我们会想到先把△DCM与△DAC的面积分别表示出来，而表示三角形面积需要知道谁是底谁是高，这样我们就需要表示出相关点的坐标，点M、A、C的坐标相对容易，而点D是动点，所以我们可以设D点坐标为(x，-x^2＋2x＋8)，而△DAC的底和高不易直接表示，所以可以将△DAC“一劈两段”分成两个三角形进行求和，即过点D作y轴的平行线，交直线AB于点H，这样H点坐标可以表示为(x，2x－1).又因为S△DAC＝S△DAH＋S△DCH，便可知△DAC的面积为以DH为底，A，C到DH的距离为高的两个三角形面积和，而A,C到DH的距离和为A、C横坐标差的绝对值，进而可以表示出三角形DAC的面积。而△DCM的面积可以表示为以MC为底，D到MC距离为高，而这两个量相对容易，这样就可以得到一个关于x的一元二次方程，进而求解。因为D点在抛物线上A,M之间这样便可以确定x的范围。求解出来后需要根据x的范围检验是否满足条件。

(3)此问是平行四边形与二次函数相结合的问题，难度相对较大，需要熟练掌握运用平行四边形的相关性质，另外此题答案不是一个需要分类严密保证不漏掉一个答案。通过审题发现平行四边形的两点(A,M)已经固定，而另外两点分别在抛物线上，和x轴上，这样我们便可以设点Q为(m，0)， 点P为(s，-s^2＋2s＋8)，又因为P,Q位置没有固定，所以我们需要分类讨论，可以分为①AM为平行四边形一边时②AM为平行四边形对角线时，两种情况。

针对情况①因为A点可以理解为由M点向左平移4个单位再向下平移16个单位得到，根据平行四边形对角线相等，同样可以得出P,Q的关系，建立方程组求出即可。

针对情况②因为平行四边形对角线互相平分，所以可以利用中点坐标公式进行列式求解。而A,M中点和P,Q中点为同一中点，进而可以列式求解。

【解题过程】