“将军饮马”模型及其各类变形

“将军饮马”问题是指动点在直线上运动，线段和差的一类最值问题，往往通过对称进行等量代换，转化成两点之间的距离或点到直线的距离，或利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求得最值。解决这类问题要用到两个基本知识点：“两点之间线段最短”和“垂线段最短”.

【类型一 两定一动基本型】

1、同侧、异侧两线段之和最小

问题：在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小.

做法：连接AB，与l交点即为P，PA+PB的最小值为AB．

问题：在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小.

做法：作A关于l的对称点A'，连A'B，与l 交点即为P，PA+PB的最小值为A'B．

2、同侧、异侧两线段之差最大、最小

【类型二 两次对称型】

问题：在直线 l₁、 l₂上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．

做法：分别作点 P 关于两直线的对称点 P' 和 P''，连接 P' P''，与两直线交点即为 M，N．

PM+MN+PN的最小值为线段P'P''的长．

【类型三 平移型】

问题：在直线l上求两点 M、N（M在左），使 MN=a，并使AM+MN+NB的值最小．

做法：将点A向右平移 a个长度单位得A'，作A'关于l的对称点 A''，连接A''B，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得M．AM+MN+BN的最小值为A''B+MN．

【类型四 点到直线垂线段最短】

问题：点P在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使PD+CD最小.

做法：作点P关于直线OB的对称点P'，向直线OA作垂线，与OB的交点为所求点D，垂足即为点C.

根据“垂线段最短”，可知PD+CD的最小值为P'C的长度.

【类型五 三动点“将军饮马”问题】

【例1】已知如图，∠A=30°，BC=4，S_△ABC=16，点D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是        .

【类型六 相对运动思想的运用】

【类型七 先找“河”，再“饮马”】

为了总结的完整性，这部分内容放在了这里，建议大家先学习后面的压轴模型“主从联动模型”，学习完以后再来看这一类型，会更容易理解。

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