人教社章建跃博士：如何把握启发学生思维的度？

如何把握启发学生思维的度

人民教育出版社  章建跃

我们知道，启发式教学就是通过适当的问题启发学生思考，引导学生抽象数学对象的本质特征而理解概念，分析数学对象各要素之间的相互关系而得出性质，建立相关知识的多元联系表征而发现解题思路，发现实际问题中的数量关系、空间形式而建立数学模型等等。因此，教师提问题的质量决定了教学的质量，而问题的质量主要体现在“启发度”的把握上。“启发度”可以从两个方面衡量：是否反映数学本质和是否在学生思维最近发展区内。由此可见，高质量的问题基于“理解数学”、“理解学生”。

最近跟随“名师送教下乡”，听到名师上的一堂“正弦定理”课，发现大家都没有关注到教学中的“启发度”问题，不经意间就丧失了“思维的教学”的机会。在给出正弦定理后，老师提出如下问题：

要证明三个对称式连等，可以先证明两式相等，然后看能否同理可得。要证

，即证

。如图1，

和

的几何意义是什么？你能证明它们相等吗？

在这一问题的强力“引导”下，学生顺利“发现”了

和

的几何意义都是

边上的高，证明也“水到渠成”。但“顺利”的证明使学生失去了实质性数学思考的机会：

第一，正弦定理的结构具有对称性，在构建证明思路的过程中具有先行组织者作用，教师指出“要证明三个对称式连等，可以先证明两式相等，然后看能否同理可得”，使学生失去了分析表达式结构特征并据此构建简捷的证明思路的机会；

第二，证明过程中，将表达式变形为

=

，这是发现证明方法的关键，教师点明“要证

，即证

”，大幅度降低了这一内容的思维教学价值；

 

第三，BC边上的高AD是联系

和

的桥梁，或者说是高AD的两种等价表示，是正弦定理的“题眼”，教师不仅提示了“

和

的几何意义”，而且还给出了图形，辅助线AD扎破了“题眼”，堵塞了学生的思维空间。

以图1为基础得出证明后，教师提出如下问题：“上述证法能行吗？”

课堂上，学生面面相觑。当时，我与身边的学生交流：“你知道老师问什么吗？”学生回答：“不太清楚。大概是证明中有什么错误。”“发现错误了吗？”“没错呀！”“那老师想让你们干什么？”“不知道！”

老师见学生不知所云，就自己说：这一证明对锐角三角形是成立的，但对直角三角形和钝角三角形没有证明，应该补上。接着就给出了如下补证：

若

是直角三角形，不妨设

为直角，则

。又

，所以

。

 

若

是钝角三角形，不妨设

为钝角。如图2，

作

边上的高

。在

，

；在

，

。则

，即

。

同理　

。

故

。

 

综上，正弦定理得证。

我再与身边的学生交流：“听懂了吗？”“懂了。”“为什么要分三种情况证明？”“因为有三种类型的三角形。”“这就是分类的理由吗？”“大概是吧。”“老师说‘不妨’设

为钝角，什么意思？”“不知道！”由学生的这些回答可见，这堂课他知道了“是什么”，但对“为什么”则基本不知道。

深入思考，发现这一段教学在思维的启发度上很值得推敲：

首先是教师提出的问题“上述证法能行吗？”这是一个不明确的问题，谈不上启发，难怪学生没有反映。

接着，在没有启发学生思考这一证明为什么对另两类三角形不适用的情况下，老师直接提出要分类证明，难怪学生表示“听懂了，但不知道为什么”。

第三，证明中有两个“不妨”，这是很要紧的，它基于正弦定理的结构特征，是证明“对称式”的一般套路，教师没有让学生明白为什么可以这样做，失去了一次如何根据问题的特点优化数学证明、给出简洁的数学表达的思维教学机会。

实际上，需要分类证明是因为所作的高有三类位置——在三角形内、与三角形一边重合、在三角形外，笼统地说“三角形有三类”不能说明问题。

例如，

为钝角时，作AB边上的高

，有

，与锐角三角形的情形一致。

 

而在具体证明中，利用好不同类型三角形的高的特征，将使证明变得简捷。例如，在

为钝角时，BC和CA边上的高是“同类”的，由此就可“同理”得出两个等式关系。这些都是设计启发性问题的“点”。

其实，还有进一步的问题，即启发学生调动相关知识，避免分类而证明之。这是对问题深化认识的过程，也是通过建立知识的联系而找到证明“巧法”的过程。化归为直角三角形的证法，基本且容易想到，貌似笨拙但大巧若拙；其他“巧法”，需要调动更多的相关知识，不容易想到，其作用是通过建立知识的联系性而发展良好认知结构，实现灵活解题。

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