200以内有多少质数和合数？ 第二册 第四课

 

200以内有多少质数和合数？

J。F。梁溪小舍 李歆 2009年1月13日

＋、－、×、÷、a b c d

课前辅导：

 （1）除法有余数，对余数的处理，就必然要产生小数与分数，否则就无法进行计算。

 （2）自然数的的概念：“1”是自然数的基本单位，任何自然数都是由若干个“1”组成，自然数是无限的，没有最大的自然数。“0” 也是自然数，它表示一个物体也没有。

 （3）自然数除“0”以外，有质数、合数和“1”三个部分组成：

      {一}质数：一个数除了“1”和它本身外，没有其他约数，这个数叫做“质数”（也称“素数”）；

      {二}合数：一个数除了“1”和它本身外，还有别的约数，这个数叫做“合数”；

      {三}“1”：1 既不是质数，也不是合数，它是自然数的基本单位。

    以上三点学习者必须必须概念清楚，明白其理，不可丝毫含糊；基本知识掌握牢靠，才能学业猛进！

 

    [课文]：200以内有多少个质数和合数？一般来说，小学4年级要知道20以内八个质数，5年级100以内二十一个质数，6年级必须知道200以内四十六个质数，并对1000以内三位数的质数都有能很快地识别出来。所以下面课文按一位数二位数及200以内三位数分别讲解。（对课前辅导内容必须先学习掌握。。。）

 

（一）一位数的质数和合数

 

    从第二册第一课质数与合数分解图中可知，0——9十个自然数中，根据质数和合数的定义，“0”和“1”不包括在质数与合数范围之内（但包括在自然数内）。其余八个，四个是质数，四个是合数。

    质数为“2，3，5，7”，它们都符合质数定义:“一个数除了“1”和它本身外，没有其他约数”,这个数就叫做“质数”。“4，6，8，9”则符合合数定义：一个数除了“1”和它本身外，还有别的约数，这个数叫做“合数”。因为4=2×2；6=2×3；8=2×2×2；9=3×3，它们都有了别的约数。

 

（二）两位数的质数和合数

   

    自然数的两位数就是从10——99共90个，其中有几个质数与几个合数呢？因为自然数中只有“0”和“1”例外，它们既不是质数又不是合数，其余所有自然数都是属于质数与合数范围。所以这90个两位数不是质数，就必然是合数，两者必居其一。

    那么怎么确定一个数是质数或合数呢？；在自然数行列中合数占绝大部分，但它们都有一定规律可寻，所以这里采用逐步淘汰法如下：

 

    （1）偶数规律：除了“0”和“2”以外，一切偶数都有不是质数，因为它们都存在“2”这个约数。而90个两位数中有45个偶数，这就从90个两位数中淘汰45个，只剩下45个。

 

    （2）“5”的淘汰：从15，25。。。。。。95可以减去9个，所以再剩45-9=36 个。

    从十个基本数字中，第一项已淘汰了“0，2，4，6，8”五个数字；第二项再淘汰“5”。现在只剩下“1，3，7，9”四个数字，从十位数1——9，每行个位数“1，3，7，9”四个，9×4=36（个）

 

    （3）“3”的淘汰：

    这里要运用“三减位补数法”的特殊应用：

 

    “三减位补数法”只承认1，2，3（0）三个数，例如5 →5-3=2；7 →7-6=1；43 →4-3=1；768 →1+2=3；9482 →1+2+2=5-3=2。。。。。。等。

  

    先从十位数是1讲解，有11，13，17，19四个数，从“三减位补数法”来解释，11→2；13→1；17→2；19→1。因为1与2，都不是"3"，所以11，13，17，19 四个都是质数。

    再从十位数是2讲解，有21，23，27，29 四个数，21→3；27→3；23→2；29→2。故21，27是"3"合数，而23，29不是"3"质数。

    最后从十位数是3讲解，31，33，37，39 四个数，从“三减位补数法”来解释，33，39两个是"3"合数，31，37两个是1，质数。，

    下面十位于数目4——9不再重复，因为从三减位来看来1与4，7同样是“1”；2，5，8同样是“2”；3，6，9同样是“3”。每个数字在这里都是一样。归纳值起来，十位数是1，4，7暂时不减；十位数是2，5，8与3，6，9都减两个。所以，从“三减法”判断要减去2×6=12（个）。这样从第二项36个再减去12个，再剩下24个。

    （4）“7”的淘汰：100以内两位数中要减去3个，就是7×7=49；7×11=77；7×13=91；

从第三项24个两位数中再减去49，77，91三个合数，最后两位数中质数就是21个。

 

两位数质数与合数分列表式

 

10	（11）	12	（13）	14	15	16	（17）	18	（19）	[4]
20	21	22	（23）	24	25	26	27	28	（29）	[2]
30	（31）	32	33	34	35	36	（37）	38	39	[2]
40	（41）	42	（43）	44	45	46	（47）	48	49	[3]
50	51	52	（53）	54	55	56	57	58	（59）	[2]
60	（61）	62	63	64	65	66	（67）	68	69	[2]
70	（71）	72	（73）	74	75	76	77	78	（79）	[3]
80	81	82	（83）	84	85	86	87	88	（89）	[2]
90	91	92	93	94	95	96	（97）	98	99	[1]
										质数

   

 最后一项得出两位数质数筛洗结果为21个：

    11，13，17，19；23，29；31，37；41，43，

    47；53，59；61，67；71，73，79；83，89；

    97

    计算过程如下：总数90个，减去蓝色偶数（0，2，4， 6，8）五列与深红色（5）一列，共6×9=54，90-54=36个；再减去“三减法”12个，“七减法”3个，合计15个，最后两位于数36-12-3=21个。

    所以，从上列两位数质数与合数分列表式中可看出剩余（。。。）红色括号内质数为21个，合数为69个。

 

（三）200以内三位数的质数和合数

 

    200以内三位数共100个，根据上述两位数中演算规则，减去0，2，4，5，6，8六列60个，100-60=40个

    减去“三减位”12个；

    减去“七减位”（7×17=119；7×19=133；7×23=161）3个；

    减去“十一减位”（11×11=121；11×13=143；11×17=187）3个；

    减去“十三减位”（13×13=169）1个；

    结算：60-12-3-3-1=60-19=21个。

    所以，200以内三位数的质数亦是21个，与两位数相同，而合数是79个。列表如下：

三位数二十一个质数分布表

 

（1）	（3）	（7）	（9）	质数21个
[101]	[103]	[107]	[109]	4
111	[113]	117	119	1
121	123	[127]	129	1
[131]	133	[137]	[139]	3
141	143	147	[149]	1
151	153	157	159	2
161	163	167	169	2
171	173	177	179	2
[181]	183	187	189	1
[191]	[193]	[197]	[199]	4

 

     [课后感]：

    第二册内容尽可能仍然按创新模式进行，一切为了便利学生们的学习，但是由于课文大都是一般学校课堂上没有教过的内容，因此对于突然闯进来想学习的人来说，恐怕连看懂也困难？

    以前我教过的孩子，在学校里考试做作业又快又好，老师往往惊异地说“这个学生不知道是怎么做的，实在弄不清楚！”我已经听习惯了，但他人恰往往觉得不可思议！例如数学史上解决质数数问题采用（孟加拉）数学家钱德拉的“筛子”——著名的“钱德拉正方形筛子”，但我认为理论上很好，可是对小学生来说还是太复杂，为此我采用质数起始数：2，3，5，7，11，13，17，19，。。。逐步递减法来解决，这样就容易得多。学习者听得懂，也容易记忆。

    例如我教过的学生，他们还创造了巧妙的记忆法：他们说；

    一位数好记2，3，5，7四个数；

    两位数21个质数只要记住422，322，321九个数，背几遍，就不会忘记；

    三位数同样是21个质数，这里分两段背；前面五个：4，1，1，3，1，正好是“十”，后面五个是“十一”2，2，2，1，4。这十个数开头和末尾两个都是“4”，很容易记，而且不会忘记！

    为赶上寒假让孩子们乘空补习,局促编写第四课,请办班老师与陪读家长们发现差错,即来告知!