合数的分解——质因数分解法
J。F。梁溪小舍 李歆 2009年1月13日
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[牛年开笔]：讲一椿使我感动的事，牛年春节第一天，许老师家教收了两名新学生。慕名而来，家长都是研究所工作，想乘假期充实孩子学识。一个初三，一个高二，课程内容：数学、英语、语文、物理。大年初一两个孩子一起来，由于程度不同，许老师就只能给他们讲语文，下次再分开来教。这两个学生来是一中成志班和天一中学——无锡顶尖名校——清华、北大每年自主直接挑选招生学校。
许老师在闲谈中，得意地说：“教着这样的学生是我最大的愉快，他们学习时非常认真，有疑就问，决不含糊。真是可造之材”。
可是现在社会，一放长假，孩子先要玩个够，过一阵再复习功课，如果孩子玩上了瘾，平时就嫌烦功课，家长便无力挽回，最后象征性学一下就混过去了。所以，许老师说，碰着好学生亦很不易，教得适畅；学生不愿学，坚决不教，省得烦心。
我认为：物以类聚，人以群分，走自己的路，莫枉求他人，尽自己能量，多与人为善！
[课前话]：本课有三个内容：
（一）1000以内有多少质数与合数？硬记不希奇，要学会方法，随时能运用真本领一看就知；
（二）合数的分解——质因数分解法。这是初等数论中重要一环，一定要掌握纯熟方法，才能在四则运算中运用自如；
（三）分解质因数——短除法。所谓短除法实际上就是“快乐学习法”内各种质数的“减除法”：“二减法”、“三减法”、“五减法”、“七减法”及“十一减法”。。。等，这些新概念在第一册及第二册几课中都已反复讲解多次，学者如果循序渐进地学习，就已“轻车熟路”掌握，这里只是扩大了应用范围。
（一）1000以内有合数有830个
在自然数列中，从0——999一千个数字中，0与1不属于质数或合数范围，其他998个中有质数168个、合数830个，所以合数是绝大多数。那么，这830个合数怎么择别出来的呢？见下表：
自然数1000以内质数、合数分列表
| 自然数分组 | 质 数 | 合 数 | 总 数 |
| 2——9 | 4 | 4 | 8（0，1除） |
| 10——99 | 21 | 69 | 90 |
| 100——199 | 21 | 79 | 100 |
| 200——299 | 16 | 84 | 100 |
| 300——399 | 16 | 84 | 100 |
| 400——499 | 17 | 83 | 100 |
| 500——599 | 14 | 86 | 100 |
| 600——699 | 16 | 84 | 100 |
| 700——799 | 14 | 86 | 100 |
| 800——899 | 15 | 85 | 100 |
| 900——999 | 14 | 86 | 100 |
| 合 计 | 168 | 830 | 998 |
讲解：
（1）上述列表中前三项：一位数、二位数及200以内三位数的质数和合数已在上一课中已经讲解。为了让大家更熟悉掌握质数的选择——即合数的逐步递减法则，下面再解释上表第四项16个质数的选择方法。
（2）上表第四顶200——299共100个数字中，有质数16个，合数84个递减法选择如下：从个位数上是偶数0，2，4，6，8与“5”六列中减去60；100-60=40。
300以内三位数二十一个质数分布表
| （1） | （3） | （7） | （9） | 质数16个 |
| 201 | 203 | 207 | 209 | 0 |
| [211] | 213 | 217 | 219 | 1 |
| 221 | [223] | [227] | [229] | 3 |
| 231 | [233] | 237 | [239] | 2 |
| [241] | 243 | 247 | 249 | 1 |
| [251] | 253 | [257] | 259 | 2 |
| 261 | [263] | 267 | [269] | 2 |
| [271] | 273 | [277] | 279 | 2 |
| [281] | [283] | 287 | 289 | 2 |
| 291 | [293] | 297 | 299 | 1 |
减去“三减位”（蓝色）14个；
减去“七减位”（7×29=203；7×31=217；7×37=259；7×41=287）4个；
减去“十一减位”（11×19=209；11×23=253）2个；
减去“十三减位”（13×17=221；13×19=247；13×23=299）3个；
减去“十七减位”（17×17=289）1个
合计：40-14-4-2-3-1=40-24=16个。所以合数为100-16=84个。
表上下面300——999各项均依此法类推即可得出；1000以内合数为860个。（学者可自己练习）
（二）合数的分解——质因数分解法
合数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，还能表示为任何其它两个整数的乘积的数。
合数是自然数列中占绝大部分的个数，正如上面已得出1000以内合数有860个。因为合数除了1和它本身两个约数外还有别的约数，所以就产生了“因数分析法”与“质因数分解法”两种数学方法，它们各有各的用处。
确定一个自然数是否是合数，以及这个自然数包含多少因数？只要用“因数分析法”就行；但要进一步确定这个自然数由那些质因数组成，就必须应用“质因数分解法”，后者比前者更重要，是学生必须掌握的重要方法。
分解质因数的原理——每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
分解质因数的含义——一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例：12=2x2x3
分解质因数的方法
举个简单例子，12的分解质因数可以有以下几种：12=2*2*3=4*3=1*12=2*6，其中1，2，3，4，6，12都可以说是12的因数，即相乘的几个数等于一个自然数，那么这几个数就是这个自然数的因数。2，3，4中，2和3是质数，就是质因数，4不是质数，是因数。
例如：下面哪些数是质数，哪些数是合数？它们各能被哪些数整除？
3 6 21 28 53 60 75 97
根据前述分解方法，这八个数字中
3、53、97 三个数字不能写成几个数相乘的形式，它们属于质数；
6、21、28、60、75 五个数字能写成几个数相乘的形式，它们属于合数。
分解形式：
6 28
／ ＼ 6＝2×3 ／ ＼ 28＝4×7（因数分析法）
2 × 3 4 × 7
6分解成2×3后就不能再分解了；但是28分解成4×7后，4×7中的4还可以分解成2×2．
28分解成质数连乘的形式．
引导学生把28分解为： 28 28＝2×2×7（质因数分解法）
／ ＼
4 × 7
／ ＼
2 × 2
（三）分解质因数——短除法
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数, 质因数可以用短除法来求出。
分解质因数的短除法，就是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；剩余若仍然是一个合数，就继续按原来的方法分解，直至最后是一个质数。
例如42，它的最小质因数是2，42=21×2；21再可以分解:42=2×3×7。 2，3，7这几个数都是质数，短除法就结束。
因此，短除法的做法就是将常规的基本除法算式倒过来操作的。
符号是“┗”，计算的时候，将42写在“┗”之内，具体算法如下：
1、将42写在“┗”之内
2、想一个最小的“除数”，一般为2、3、5、7、9……，对于本题的42，可以先取一个简单的“2”作为除数，并写在“┗”的左边。
3、进过计算，符号“┗”下面就应该得出“21”
4、再画一个“┗”将“21”包进去
5、再想一个能让21除尽的最小数，可以选择“3”
6、“┗”下面的结果就应该是“7”了
7、再画一个“┗”将“7”包进去
8、再想一个能让7除尽的最小数，只能选择“7”
这样，得出了42的质因数就是：2、3、7。
求一个数分解质因数，你只要从2开始除起就好了，有个分解质因数的算式的，和除法的写法差不多，也能用来求2个数的公因式：
如42
2┖42（┖是象除法算式那个┌ 一样的符号）
3┖21
7是质数，结束。（42=2×3×7）
再如105
3┖105
5┖35
----7-------7是质数，结束。（105=3×5×7）
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