第一章 绪论
(Observation Error)
1、为什么要进行观测 必要观测、多余观测
2、误差存在的现象
3、误差产生的原因
观测条件：观测仪器、观测者、外界条件
4、误差的分类
粗差，系统误差，偶然误差
5、
误差的处理办法
第一章 绪论
二 、测量平差的简史和发展
三、测量平差的两大任务及本课程的主要内容
第二章 误差分布与精度指标
Error Distribution and Index of Precision
一、偶然误差的规律性
（
1、随机变量（
2、偶然误差的分布
正态分布
stochastic variable)
(normal distribution)
Δ2
f
(
Δ
)
=
1
2π σ
e
−
σ
2
2
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
3、偶然误差的统计特性
由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特
性：
1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有
一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现
的概率为零；
2、绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然
误差出现的概率大；
3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相
同；
4、偶然误差的理论平均值为零
第二章 误差分布与精度指标
二、随机变量的数字特征
（ 1） 反映随机变量集中位置的数字特征
（ 2）反映随机变量偏离集中位置的离散程度
---数学期望
----方差
（ 3）映两两随机变量
差
x、 y相关程度的数字特征
---协方
1、数学期望
第二章 误差分布与精度指标
（ expected value)
E ( x ), μ
（ 1）
(a) 定义
离散型：
( ) = ∑∞
E x
i =1
( ) = ∫∞
xipi
)
连续型：
(b) 运算规则
E x
xf (x dx
Chapter 2.Error Distribution andIndex of Precision
2、方差
(variance)
D( ),
,
2
(a) 定义
x Dxσ
x
x
D( )
= E
{[
−
2
E(x)] }
离散型：
( ) = ∑∞
D x
i=1
[
x
i
−
( )]2
E x
p
i
连续型：
(b) 运算规则
( ) = ∫∞∞
D x
[
x
−
( )]2
E x
)
f (x dx
Chapter 2.Error Distribution andIndex of Precision
3、协方差
(a) 定义
(covariance)
σxy
ρ
=
σ
xy
相关系数
(correlation coefficient)
xy
σ σ
，
三、衡量精度的指标
x
y
1、方差和中误差
2、平均误差
3、或然误差
4、极限误差
(variance and mean square error MSE)
(average error)
(probable error)
(limiterror)
5、相对（中、真、极限）误差
(relative error)
Chapter 2.Error Distribution andIndex of Precision
四、随机向量的数字特征
1、随机向量
2、随机向量的数学期望
，
3、随机向量的方差
· 协方差阵的定义
· 协方差阵的特点
4、互协方差阵
· 协方差阵的定义
· 协方差阵的特点
-协方差阵
Chapter 2.Error Distribution andIndex of Precision
例 1. 在测站
D上，观测了
a b c da db dc
三个方向
A、 B、 C，得 10
1 28 47 29 47 18 19 69 5034 2.3 0.4 -1.2
，
个测回的方向观测读数
b、 c，试估算各个方向观
测值的方差、协方差、相
关系数。
ˆ =[a]=o
28 47
10
b
a、
'31.3"
2 34 20 35 -2.7 -0.6 -2.2
3 28 18 33 3.3 1.4 -0.2
4 33 17 35 -1.7 2.4 -2.2
5 35 24 31 -3.7 -4.6 1.8
6 35 18 30 -3.7 1.4 2.8
7 31 16 29 0.3 3.4 3.8
ˆ =[]
b
10
=
47
o1819.4"
8 29 25 32 2.3 -5.6 0.8
9 27 19 32 4.3 0.4 0.8
ˆ
=[c]=
10
o
69
'32.8"
10 32 18 37 0.7 1.4 -4.2
Chapter 2.Error Distribution andIndex of Precision
da
i
= a −
,
a db
=
ˆ −
b
,
b dc
= c−
c
[
2
]
i
i
78.1
i
i
i
[
2
]
76.4
σˆa2 =da
=
=
2
σˆb2 =db
=
=
2
8.49(" )
−
10 1
[ 2]
9
55.6
8.68(" )
−
10 1
9
，，
σ ，c2 =dc
−
10 1
=
9
=
2
6.18(" )
σa=
[
2.95"
]
σb=
3.8
2.91"
σc=
2.49"
σˆ
σˆab=
9
=
9
=
0.42,
ρ
ˆ
ab
=
ab
σ
σˆ ˆ
a b
=
0.05
Chapter 2.Error Distribution andIndex of Precision
例 1：求随机变量 t =x− μ 的期望和方差。
例 2：对正态分布密度函数
σ
Δ =
f ( )
σ
1
π
⎛
⎜
exp
−
1
2σ
2
(Δ −
μ
)
⎞
2 ⎟ , − ∞ < Δ < +∞
求随机变量
2
Δ
⎝
的数学期望和方差。
⎠
Chapter 2.Error Distribution andIndex of Precision
五、精度
准确度
精确度
观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统
误差、粗差）的大小。
1、精度：(precision)
描述偶然误差，可从分布曲线的陡峭程度看出
精度的高低。
2、准确度：
(accuracy)
描述系统误差和粗差，可用观测值的真值与观测值
的数学期望之差来描述，即：
~
ε = L −
L
E( )
Chapter 2.Error Distribution andIndex of Precision
3、精确度：
描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可用观
测值的均方误差来描述，即：
( ) =
~
MSE L
( )
= E(L −
~)2
L
= σ
2
L
+
L
( E( )
−
~)2
L
当
E L
L
，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦
即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此
时精确度就是精度。
Chapter 2.Error Distribution andIndex of Precision
七、小结
名
词
误差
测量误差
（观测误差）
真误差
方差
中误差
平均误差
或然误差
极限误差
相对误差
绝对误差
偶然误差
随机误差
系统误差
粗差
衡量精度的指标
精度
准确度
精确度
第三章
几个概念
协方差传播律(spread of covariance)
1、直接观测量
2、非直接观测量
(directobservation)
---观测值的函数
水准测量
导线测量
三角形内角平差值
3、独立观测值
(independent observation
4、非独立观测值
----相关观测值
(correlationobservation)
独立观测值各个函数之间不一定独立
5、误差转播律
6、协方差转播律
Chapter 3.spread of covariance
一、观测值线性函数的方差
，
设观测向量
L
L及其期望和方差为：
1...Ln
E(L1)... (
E Ln
⎡ σ
)
2
1
...
σ
i n
⎤
D
= E{[
−
L
L −
L
T
=
⎢
,
⎥
L
E( )][
E( )]
⎢
...
⎥
⎢σ
...
σ
2
⎥
⎣
n,1
n
⎦
Chapter 3.spread of covariance
函数：
函数的期望：
x = KL+ K0
x =
E( )
L
KE( )
+
K
0
( ) =
{[
−
( )][
−
T
=
T
函数的方差：
D x
E x
E x x
( )] }
E x
KDLK
例：已知
L1...L
⎡3
⎢
− 1 1⎤
⎥
3
DL
3,3
=
⎢
⎢
2
0
⎥
4⎥
求函数
差。
x = 2L
1
−
L
2
+ 5
的方
Chapter 3.spread of covariance
二、多个观测值线性函数的方差
若观测向量的多个线性函数为
-协方差阵
Z
=
X
+ k X
+
+ k X
+ k
1
k111
12
2
1n
n
10
Z
2
=
X
k211
+ k22X
2
+
+ k2nX
n
+ k
20
Zt
=
X
+ k X
+
+ k X
+ k
kt1 1
t 2
2
tn
n
t 0
⎛ Z1⎞
⎛ k11
k12
k1n ⎞
⎛ k10⎞
令
Z
t×
1
=
⎜
⎜ Z
⎜
2
⎟
⎟
⎟
,
K
×
t n
=
⎜
⎜ k
⎜
21
k
22
k
2n
⎟
⎟
⎟
,
K
0
t×1
=
⎜
⎜ k
20
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ Zt⎠
⎝ kt1
kt2
ktn⎠
⎝ kt0 ⎠
Chapter 3.spread of covariance
于是，观测向量的多个线性函数可写为
D = KD KT
Z
= KX + K0
若还有观测向量的另外
Y = f X
ZZ
+
f
XX
r个线性函数
X +
+
f
n
Xn
+
f
1
11
1
12
2
1
10
Y2
Yr
其矩阵形式为：
=
=
f21X1
fr1X1
+
+
f22X2
fr2X2
+
+
+
+
f2nXn
frnXn
+
+
f20
fr0
Y
= FX + F0
Chapter 3.spread of covariance
则有：
D
= FD FT
= DT
YY
×
r r
三、两个函数的互协方差阵
XX
YY
D
YZ
×
r t
=
[(
E Y
−
( ))(
E Y Z
−
T
( )) ]
E Z
=
[(
E FX
+
F0
−
(
FE X
) −
F0
)(
KX
+
k0
−
(
KE X
) −
T
k0) ]
=
[(
−
(
))(X−
(
T
T
FE X
= FDXXKT
E X
E EX)) ]K
Chapter 3.spread of covariance
四、非线性函数的情况
第三章
例：
协方差传播律
⎡4
⎢
0
0⎤
⎥
设有观测向量L，已知其协方差阵为
D = ⎢0
2
0⎥
，
，
，
求下列函数的协方差。
F
1
=
L
1
+
2L
2
−
3L
3
3,3
⎢0
0
3⎥
F
2
= L
1
+ 3L
3
第三章
协方差传播律
五、多个观测向量非线性函数的方差
设观测向量的 t个非线性函数为：
— 协方差矩阵
Z
1
=
(
f1X
1
,
X
2
,
,
X
n
)
，
Z2
Z
=
=
f2(X1,
( ,
X2,
,
,
,
Xn)
n)
对上式求全微分，得
t
ftX1
X2
X
第三章
协方差传播律
对上式求全微分，得
dZ
=
⎛
∂f
1
⎞
dX
+
⎛
∂ f
1
⎞
dX
+
+
⎛
∂f
1
⎞
dX
1
⎝⎜⎜
∂X1
⎛ ∂f
⎠⎟⎟
⎞
1
⎝⎜⎜
∂ X2
⎛ ∂ f
⎠⎟⎟
⎞
2
⎝⎜⎜
∂Xn
⎛ ∂f
⎠⎟⎟
⎞
n
，
dZ
2
=
⎝⎜⎜
2
dX
⎠⎟⎟ 1
+
⎝⎜⎜
2
dX
⎠⎟⎟ 2
+
+
⎝⎜⎜
2
dX
⎠⎟⎟ n
，，
⎛
∂X
1
∂f
⎞
⎛
∂ X
∂ f
2
⎞
⎛
∂X
∂f
n
⎞
dZ
t
=
⎜⎜
t
dX
⎟⎟ 1
+
⎜⎜
t
dX
⎟⎟ 2
+
+
⎝⎜⎜
t
dX
⎠⎟⎟ n
⎝ ∂X1⎠
⎝ ∂ X2⎠
∂Xn
第三章
令
协方差传播律
⎛
⎜
∂f1
∂f1
∂f1
⎞
⎟
⎛ dZ⎞
⎛ dX
⎞
⎜ ∂X1
∂X2
∂Xn⎟
⎜
1 ⎟
⎜
1 ⎟
⎜ ∂f
∂f
∂f
⎟
=
⎜ dZ
2
⎟
=
⎜ dX
2
⎟
= ⎜
2
2
2
⎟
dZ
⎜
⎜⎜
⎝ dZ
⎟,
⎟⎟
⎠
dX
⎜
⎜⎜
⎝ dX
⎟,
⎟⎟
⎠
K
⎜
⎜
∂X
1
∂ft
∂X
∂f
2
∂X
∂f
n
⎟
⎟
t
n
⎜⎜
t
t
⎟⎟
则
dZ = kdX
⎝ ∂X1
∂X2
∂Xn⎠
由误差传播定律得：
D
ZZ
= KDXXKT
第三章
协方差传播律
六、协方差传播律的应用
1、水准测量的精度
例 1：在单一水准路线
AB上，为求待定点
P的高程，观测了
高差 L1及
L2
，其相应的路线长度
S
1
=
,2
4km S
= 2
km
已知每公里观测高差中误差为
值的协方差阵。
σ
km
= 1cm，求高差平差
第三章
协方差传播律
2、距离丈量的精度
3、同精度独立观测值算术平均值的精度
例 2：已知距离 AB=100m，丈量
4次平均值的中误差为
2cm，
若以同样精度丈量距离
(1) 丈量 CD1次的精度
CD=900m，求
(2) 如丈量
差
CD16次，则求丈量
AB4次和 CD16次的相对中误
第三章
协方差传播律
七、应用协方差传播律时应注意的问题
（ 1）根据测量实际，正确地列出函数式；
（ 2）全微分所列函数式，并用观测值计算 偏导数值；
（ 3）计算时注意各项的单位要统一；
（ 4）将微分关系写成矩阵形式；
（ 5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方差
方差矩阵。
-协
第三章
协方差传播律
，
八、权及定权的常用方法
权的概念
一定的观测条件对应着一定的误差分布，而一定的误
差分布就对应着一个确定的方差，方差是表征精度的
一个绝对的数字指标，为了比较各观测值之间的精
度，除了可以应用方差之外，还可以通过方差之间的
比例关系来衡量观测值之间的精度的高低，这种表示
各观测值方差之间的比例关系的数字特征称为权，所
以 权是表征精度的相对的数字指标。
第三章
权的概念
协方差传播律
权是权衡轻重的意思，其应用比较广泛，应用到测量上可作为
衡量精度的标准。如有一组观测值时等精度的，那么，在平差
时，应该将它们同等对待，因此说这组观测值是等权的，而对
于一组不等精度的观测值，在平差时，就不能等同处理，容易
理解， 精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重
说，应占较大的权，所以平差时，对于一组不等精度的观测值
应给予不同的权。
，或者
第三章
1、权的定义
协方差传播律
权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关
系。
pi
=
σ
σ
2
0
2
i
，
例 1：量 AB间距离，得两组观测值
、
L1
，已知它们的中误
L2
差
σ1= 3mm
，
σ2= 2mm
，求 L的权。
例 2：测 D点高程，有观测值
h1、
h2
、
h3
，
已知
σ1
=3mm
，
σ2= 4mm
，
σ3= 5mm
求各观测值的权。
第三章
协方差传播律
由此看出，随着选定的
σ0
不同，
P
的绝对值也
不同，但他们之间的比例关系不变，所以权的数值不是绝对
的，只有相对的意义，也就是说，我们不在乎权本身数值的
大小，而在乎且定它们之间的比例关系。
第三章
协方差传播律
2、单位权中误差
3、测量中常用的方法
（ 1）水准测量的权
（ 2）同精度观测值的算术平均值的权
（ 3）距离丈量的权
（ 4）三角高程测量的权
第三章
协方差传播律
2、单位权中误差
3、测量中常用的方法
（ 1）水准测量的权
（ 2）同精度观测值的算术平均值的权
（ 3）距离丈量的权
（ 4）三角高程测量的权
第三章
协方差传播律
九、协因数和协因数传播律
1、协因素
2、协因素 阵
3、协因数阵的特点
4、互协因数阵
5、权阵
第三章
协方差传播律
协因数与权互为倒数，协因数阵与权阵互为逆矩
阵，协因数对角线上的元素为各变量的权倒数，
是否可由此说权阵对角线上的元素即为观测向量
的权？
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角线
上的元素为观测值的权。
⎡σ2
⎤
L = [L1
......Ln
]T
⎢
σ
L
1
2
......
0
⎥
⎡ 1
⎢
⎤
⎥⎡Q
...
0
⎤
1
⎢
0
⎥
⎢
p
1
⎥⎢
11
⎥
Q
LL
=
σ
2
D
L
= ⎢
⎢
...
......
...
σ2
⎥ = ⎢
⎥
⎥⎢ ...
...
...
⎥
0
L
⎢
1
⎥⎢
0
...
Q
⎥
⎢
0
......
σ
r
2
⎥
⎢
p
⎣
⎥
nn
r
⎦
⎢
0
⎥
⎣
n ⎦
第三章
协方差传播律
当观测值相关时，协因数阵主对角线上的元素仍为
观测值的权倒数。而权阵主对角线上的元素不是观
测值的权。
⎡ 2
− 1⎤
。
例 1： 已知 L的协因数阵为
阵。
Q = ⎢
⎣− 1
⎥
3 ⎦
，求 L的权
例 2：设有观测值
L1的权 P1=2，方差
=4；又知
L2的方差
=1，
求 P2、
Q11, Q22。
第三章
协方差传播律
6、协因数传播律
（ 1）、线性函数
（ 2）、非线性函数
（ 3）、权倒数传播律
例 1：求算术平均值的权
例 2：求加权平均值的权
.
.
第三章
协方差传播律
例 3. A、 B、 C为已知水准点
单位权中误差 =2mm，
求（ 1） D点高程最或是值的中误差；
（ 2） CD高差的最或是值中误差。
P1=P2=P5=2,P2=P4=5,
例 4：在三角高程测量中
s,α
h = stgα
+ i−
v
⎡
⎢
1
⎤
⎥
为观测值，
求三角点间观测高差的权。
权逆阵为
⎢ps
⎢
⎢
1
pα
⎥
⎥
⎥
第三章
协方差传播律
例 5：已知观测向量
X1和 X2的协因数阵，设有函数
Y=FX、 Z=KX
求 Y对于 Z的互协因数。
例 6：已知丈量 AB=100米长的距离一次，其权为
问（ 1）丈量 CD=300米长的距离一次的权；
（ 2） 300米距离需丈量几次，其平均值的权等于
1.5。
4。
第三章
协方差传播律
十、由真误差计算中误差及其实际应用
1、用不同精度的真误差计算单位权方差
2、由真误差估求方差的实际应用
（ 1）由三角形闭合差求测角中误差
（ 2）由双观测值之差求中误差
第三章
例：设分
协方差传播律
5段测定两水准电间的高差，每段各测两次，
段
号
1
高
L'
3.248
差
L"
3.240
d'(mm
)
8
S(
4.0
)
pdd=
16.0
dd
S
2
3
4
5
0.348
1.444
-3.360
-3.699
0.356
1.437
-3.352
-3.704
-8
7
-8
5
3.2
2.0
2.6
3.4
20.0
24.5
24.6
7.4
求（ 1）每公里观测高差中误差
（ 2）第二段观测高差中误差
（ 3）第二段高差平均值的中误差
（ 4）全长一次（往或返）观测高差中误差及全长高差平均值的中误差。
第三章
协方差传播律
十一、系统误差和偶然误差的联合影响
偶然误差
5、
误差的处理办法
第一章 绪论
二 、测量平差的简史和发展
三、测量平差的两大任务及本课程的主要内容
第二章 误差分布与精度指标
Error Distribution and Index of Precision
一、偶然误差的规律性
（
1、随机变量（
2、偶然误差的分布
正态分布
stochastic variable)
(normal distribution)
Δ2
f
(
Δ
)
=
1
2π σ
e
−
σ
2
2
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
第二章 误差分布与精度指标
3、偶然误差的统计特性
由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特
性：
1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有
一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现
的概率为零；
2、绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然
误差出现的概率大；
3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相
同；
4、偶然误差的理论平均值为零
第二章 误差分布与精度指标
二、随机变量的数字特征
（ 1） 反映随机变量集中位置的数字特征
（ 2）反映随机变量偏离集中位置的离散程度
---数学期望
----方差
（ 3）映两两随机变量
差
x、 y相关程度的数字特征
---协方
1、数学期望
第二章 误差分布与精度指标
（ expected value)
E ( x ), μ
（ 1）
(a) 定义
离散型：
( ) = ∑∞
E x
i =1
( ) = ∫∞
xipi
)
连续型：
(b) 运算规则
E x
xf (x dx
Chapter 2.Error Distribution and Index of Precision
2、方差
(variance)
D( ),
,
2
(a) 定义
x Dxσ
x
x
D( )
= E
{[
−
2
E(x)] }
离散型：
( ) = ∑∞
D x
i=1
[
x
i
−
( )]2
E x
p
i
连续型：
(b) 运算规则
( ) = ∫∞∞
D x
[
x
−
( )]2
E x
)
f (x dx
Chapter 2.Error Distribution and Index of Precision
3、协方差
(a) 定义
(covariance)
σxy
ρ
=
σ
xy
相关系数
(correlation coefficient)
xy
σ σ
，
三、衡量精度的指标
x
y
1、方差和中误差
2、平均误差
3、或然误差
4、极限误差
(variance and mean square error MSE)
(average error)
(probable error)
(limit error)
5、相对（中、真、极限）误差
(relative error)
Chapter 2.Error Distribution and Index of Precision
四、随机向量的数字特征
1、随机向量
2、随机向量的数学期望
，
3、随机向量的方差
· 协方差阵的定义
· 协方差阵的特点
4、互协方差阵
· 协方差阵的定义
· 协方差阵的特点
-协方差阵
Chapter 2.Error Distribution and Index of Precision
例 1. 在测站
D上，观测了
a b c da db dc
三个方向
A、 B、 C，得 10
1 28 47 29 47 18 19 69 50 34 2.3 0.4 -1.2
，
个测回的方向观测读数
b、 c，试估算各个方向观
测值的方差、协方差、相
关系数。
ˆ =[a]=o
28 47
10
b
a、
'31.3"
2 34 20 35 -2.7 -0.6 -2.2
3 28 18 33 3.3 1.4 -0.2
4 33 17 35 -1.7 2.4 -2.2
5 35 24 31 -3.7 -4.6 1.8
6 35 18 30 -3.7 1.4 2.8
7 31 16 29 0.3 3.4 3.8
ˆ =[]
b
10
=
47
o1819.4"
8 29 25 32 2.3 -5.6 0.8
9 27 19 32 4.3 0.4 0.8
ˆ
=[c]=
10
o
69
'32.8"
10 32 18 37 0.7 1.4 -4.2
Chapter 2.Error Distribution and Index of Precision
da
i
= a −
,
a db
=
ˆ −
b
,
b dc
= c −
c
[
2
]
i
i
78.1
i
i
i
[
2
]
76.4
σˆa2 =da
=
=
2
σˆb2 =db
=
=
2
8.49(" )
−
10 1
[ 2]
9
55.6
8.68(" )
−
10 1
9
，，
σ ，c2 =dc
−
10 1
=
9
=
2
6.18(" )
σa=
[
2.95"
]
σb=
3.8
2.91"
σc=
2.49"
σˆ
σˆab=
9
=
9
=
0.42,
ρ
ˆ
ab
=
ab
σ
σˆ ˆ
a b
=
0.05
Chapter 2.Error Distribution and Index of Precision
例 1：求随机变量 t =x− μ 的期望和方差。
例 2：对正态分布密度函数
σ
Δ =
f ( )
σ
1
π
⎛
⎜
exp
−
1
2σ
2
(Δ −
μ
)
⎞
2 ⎟ , − ∞ < Δ < +∞
求随机变量
2
Δ
⎝
的数学期望和方差。
⎠
Chapter 2.Error Distribution and Index of Precision
五、精度
准确度
精确度
观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统
误差、粗差）的大小。
1、精度：(precision)
描述偶然误差，可从分布曲线的陡峭程度看出
精度的高低。
2、准确度：
(accuracy)
描述系统误差和粗差，可用观测值的真值与观测值
的数学期望之差来描述，即：
~
ε = L −
L
E( )
Chapter 2.Error Distribution and Index of Precision
3、精确度：
描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可用观
测值的均方误差来描述，即：
( ) =
~
MSE L
( )
= E(L −
~)2
L
= σ
2
L
+
L
( E( )
−
~)2
L
当
E L
L
，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦
即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此
时精确度就是精度。
Chapter 2.Error Distribution and Index of Precision
七、小结
名
词
误差
测量误差
（观测误差）
真误差
方差
中误差
平均误差
或然误差
极限误差
相对误差
绝对误差
偶然误差
随机误差
系统误差
粗差
衡量精度的指标
精度
准确度
精确度
第三章
几个概念
协方差传播律 (spread of covariance)
1、直接观测量
2、非直接观测量
(direct observation)
---观测值的函数
水准测量
导线测量
三角形内角平差值
3、独立观测值
( independent observation
4、非独立观测值
----相关观测值
(correlation observation)
独立观测值各个函数之间不一定独立
5、误差转播律
6、协方差转播律
Chapter 3.spread of covariance
一、观测值线性函数的方差
，
设观测向量
L
L及其期望和方差为：
1...Ln
E(L1)... (
E Ln
⎡ σ
)
2
1
...
σ
i n
⎤
D
= E{[
−
L
L −
L
T
=
⎢
,
⎥
L
E( )][
E( )]
⎢
...
⎥
⎢σ
...
σ
2
⎥
⎣
n,1
n
⎦
Chapter 3.spread of covariance
函数：
函数的期望：
x = KL+ K0
x =
E( )
L
KE( )
+
K
0
( ) =
{[
−
( )][
−
T
=
T
函数的方差：
D x
E x
E x x
( )] }
E x
KDLK
例：已知
L1...L
⎡3
⎢
− 1 1⎤
⎥
3
DL
3,3
=
⎢
⎢
2
0
⎥
4⎥
求函数
差。
x = 2L
1
−
L
2
+ 5
的方
Chapter 3.spread of covariance
二、多个观测值线性函数的方差
若观测向量的多个线性函数为
-协方差阵
Z
=
X
+ k X
+
+ k X
+ k
1
k111
12
2
1n
n
10
Z
2
=
X
k211
+ k22X
2
+
+ k2nX
n
+ k
20
Zt
=
X
+ k X
+
+ k X
+ k
kt1 1
t 2
2
tn
n
t 0
⎛ Z1⎞
⎛ k11
k12
k1n ⎞
⎛ k10⎞
令
Z
t×
1
=
⎜
⎜ Z
⎜
2
⎟
⎟
⎟
,
K
×
t n
=
⎜
⎜ k
⎜
21
k
22
k
2n
⎟
⎟
⎟
,
K
0
t×1
=
⎜
⎜ k
20
⎜
⎟
⎟
⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ Zt⎠
⎝ kt1
kt2
ktn⎠
⎝ kt0 ⎠
Chapter 3.spread of covariance
于是，观测向量的多个线性函数可写为
D = KD KT
Z
= KX + K0
若还有观测向量的另外
Y = f X
ZZ
+
f
XX
r个线性函数
X +
+
f
n
Xn
+
f
1
11
1
12
2
1
10
Y2
Yr
其矩阵形式为：
=
=
f21X1
fr1X1
+
+
f22X2
fr2X2
+
+
+
+
f2nXn
frnXn
+
+
f20
fr0
Y
= FX + F0
Chapter 3.spread of covariance
则有：
D
= FD FT
= DT
YY
×
r r
三、两个函数的互协方差阵
XX
YY
D
YZ
×
r t
=
[(
E Y
−
( ))(
E Y Z
−
T
( )) ]
E Z
=
[(
E FX
+
F0
−
(
FE X
) −
F0
)(
KX
+
k0
−
(
KE X
) −
T
k0) ]
=
[(
−
(
))(X −
(
T
T
FE X
= FDXXKT
E X
E EX)) ]K
Chapter 3.spread of covariance
四、非线性函数的情况
第三章
例：
协方差传播律
⎡4
⎢
0
0⎤
⎥
设有观测向量L，已知其协方差阵为
D = ⎢0
2
0⎥
，
，
，
求下列函数的协方差。
F
1
=
L
1
+
2L
2
−
3L
3
3,3
⎢0
0
3⎥
F
2
= L
1
+ 3L
3
第三章
协方差传播律
五、多个观测向量非线性函数的方差
设观测向量的 t个非线性函数为：
— 协方差矩阵
Z
1
=
(
f1X
1
,
X
2
,
,
X
n
)
，
Z2
Z
=
=
f2(X1,
( ,
X2,
,
,
,
Xn)
n)
对上式求全微分，得
t
ftX1
X2
X
第三章
协方差传播律
对上式求全微分，得
dZ
=
⎛
∂f
1
⎞
dX
+
⎛
∂ f
1
⎞
dX
+
+
⎛
∂f
1
⎞
dX
1
⎝⎜⎜
∂X1
⎛ ∂f
⎠⎟⎟
⎞
1
⎝⎜⎜
∂ X2
⎛ ∂ f
⎠⎟⎟
⎞
2
⎝⎜⎜
∂Xn
⎛ ∂f
⎠⎟⎟
⎞
n
，
dZ
2
=
⎝⎜⎜
2
dX
⎠⎟⎟ 1
+
⎝⎜⎜
2
dX
⎠⎟⎟ 2
+
+
⎝⎜⎜
2
dX
⎠⎟⎟ n
，，
⎛
∂X
1
∂f
⎞
⎛
∂ X
∂ f
2
⎞
⎛
∂X
∂f
n
⎞
dZ
t
=
⎜⎜
t
dX
⎟⎟ 1
+
⎜⎜
t
dX
⎟⎟ 2
+
+
⎝⎜⎜
t
dX
⎠⎟⎟ n
⎝ ∂X1⎠
⎝ ∂ X2⎠
∂Xn
第三章
令
协方差传播律
⎛
⎜
∂f1
∂f1
∂f1
⎞
⎟
⎛ dZ ⎞
⎛ dX
⎞
⎜ ∂X1
∂X2
∂Xn⎟
⎜
1 ⎟
⎜
1 ⎟
⎜ ∂f
∂f
∂f
⎟
=
⎜ dZ
2
⎟
=
⎜ dX
2
⎟
= ⎜
2
2
2
⎟
dZ
⎜
⎜⎜
⎝ dZ
⎟,
⎟⎟
⎠
dX
⎜
⎜⎜
⎝ dX
⎟,
⎟⎟
⎠
K
⎜
⎜
∂X
1
∂ft
∂X
∂f
2
∂X
∂f
n
⎟
⎟
t
n
⎜⎜
t
t
⎟⎟
则
dZ = kdX
⎝ ∂X1
∂X2
∂Xn⎠
由误差传播定律得：
D
ZZ
= KDXXKT
第三章
协方差传播律
六、协方差传播律的应用
1、水准测量的精度
例 1：在单一水准路线
AB上，为求待定点
P的高程，观测了
高差 L1及
L2
，其相应的路线长度
S
1
=
,2
4km S
= 2
km
已知每公里观测高差中误差为
值的协方差阵。
σ
km
= 1cm，求高差平差
第三章
协方差传播律
2、距离丈量的精度
3、同精度独立观测值算术平均值的精度
例 2：已知距离 AB=100m，丈量
4次平均值的中误差为
2cm，
若以同样精度丈量距离
(1) 丈量 CD1次的精度
CD=900m，求
(2) 如丈量
差
CD16次，则求丈量
AB4次和 CD16次的相对中误
第三章
协方差传播律
七、应用协方差传播律时应注意的问题
（ 1）根据测量实际，正确地列出函数式；
（ 2）全微分所列函数式，并用观测值计算 偏导数值；
（ 3）计算时注意各项的单位要统一；
（ 4）将微分关系写成矩阵形式；
（ 5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方差
方差矩阵。
-协
第三章
协方差传播律
，
八、权及定权的常用方法
¨ 权的概念
一定的观测条件对应着一定的误差分布，而一定的误
差分布就对应着一个确定的方差，方差是表征精度的
一个绝对的数字指标，为了比较各观测值之间的精
度，除了可以应用方差之外，还可以通过方差之间的
比例关系来衡量观测值之间的精度的高低，这种表示
各观测值方差之间的比例关系的数字特征称为权，所
以 权是表征精度的相对的数字指标。
第三章
¨ 权的概念
协方差传播律
权是权衡轻重的意思，其应用比较广泛，应用到测量上可作为
衡量精度的标准。如有一组观测值时等精度的，那么，在平差
时，应该将它们同等对待，因此说这组观测值是等权的，而对
于一组不等精度的观测值，在平差时，就不能等同处理，容易
理解， 精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重
说，应占较大的权，所以平差时，对于一组不等精度的观测值
应给予不同的权。
，或者
第三章
1、权的定义
协方差传播律
权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关
系。
pi
=
σ
σ
2
0
2
i
，
例 1：量 AB间距离，得两组观测值
、
L1
，已知它们的中误
L2
差
σ1= 3mm
，
σ2= 2mm
，求 L的权。
例 2：测 D点高程，有观测值
h1、
h2
、
h3
，
已知
σ1
=3mm
，
σ2= 4mm
，
σ3= 5mm
求各观测值的权。
第三章
协方差传播律
由此看出，随着选定的
σ0
不同，
P
的绝对值也
不同，但他们之间的比例关系不变，所以权的数值不是绝对
的，只有相对的意义，也就是说，我们不在乎权本身数值的
大小，而在乎且定它们之间的比例关系。
第三章
协方差传播律
2、单位权中误差
3、测量中常用的方法
（ 1）水准测量的权
（ 2）同精度观测值的算术平均值的权
（ 3）距离丈量的权
（ 4）三角高程测量的权
第三章
协方差传播律
2、单位权中误差
3、测量中常用的方法
（ 1）水准测量的权
（ 2）同精度观测值的算术平均值的权
（ 3）距离丈量的权
（ 4）三角高程测量的权
第三章
协方差传播律
九、协因数和协因数传播律
1、协因素
2、协因素 阵
3、协因数阵的特点
4、互协因数阵
5、权阵
第三章
协方差传播律
协因数与权互为倒数，协因数阵与权阵互为逆矩
阵，协因数对角线上的元素为各变量的权倒数，
是否可由此说权阵对角线上的元素即为观测向量
的权？
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角线
上的元素为观测值的权。
⎡σ2
⎤
L = [L1
......Ln
]T
⎢
σ
L
1
2
......
0
⎥
⎡ 1
⎢
⎤
⎥⎡Q
...
0
⎤
1
⎢
0
⎥
⎢
p
1
⎥⎢
11
⎥
Q
LL
=
σ
2
D
L
= ⎢
⎢
...
......
...
σ2
⎥ = ⎢
⎥
⎥⎢ ...
...
...
⎥
0
L
⎢
1
⎥⎢
0
...
Q
⎥
⎢
0
......
σ
r
2
⎥
⎢
p
⎣
⎥
nn
r
⎦
⎢
0
⎥
⎣
n ⎦
第三章
协方差传播律
当观测值相关时，协因数阵主对角线上的元素仍为
观测值的权倒数。而权阵主对角线上的元素不是观
测值的权。
⎡ 2
− 1⎤
。
例 1： 已知 L的协因数阵为
阵。
Q = ⎢
⎣− 1
⎥
3 ⎦
，求 L的权
例 2：设有观测值
L1的权 P1=2，方差
=4；又知
L2的方差
=1，
求 P2、
Q11, Q22。
第三章
协方差传播律
6、协因数传播律
（ 1）、线性函数
（ 2）、非线性函数
（ 3）、权倒数传播律
例 1：求算术平均值的权
例 2：求加权平均值的权
.
.
第三章
协方差传播律
例 3. A、 B、 C为已知水准点
单位权中误差 =2mm，
求（ 1） D点高程最或是值的中误差；
（ 2） CD高差的最或是值中误差。
P1=P2=P5=2,P2=P4=5,
例 4：在三角高程测量中
s,α
h = stgα
+ i −
v
⎡
⎢
1
⎤
⎥
为观测值，
求三角点间观测高差的权。
权逆阵为
⎢ps
⎢
⎢
1
pα
⎥
⎥
⎥
第三章
协方差传播律
例 5：已知观测向量
X1和 X2的协因数阵，设有函数
Y=FX、 Z=KX
求 Y对于 Z的互协因数。
例 6：已知丈量 AB=100米长的距离一次，其权为
问（ 1）丈量 CD=300米长的距离一次的权；
（ 2） 300米距离需丈量几次，其平均值的权等于
1.5。
4。
第三章
协方差传播律
十、由真误差计算中误差及其实际应用
1、用不同精度的真误差计算单位权方差
2、由真误差估求方差的实际应用
（ 1）由三角形闭合差求测角中误差
（ 2）由双观测值之差求中误差
第三章
例：设分
协方差传播律
5段测定两水准电间的高差，每段各测两次，
段
号
1
高
L'
3.248
差
L"
3.240
d'(mm
)
8
S(
4.0
)
pdd=
16.0
dd
S
2
3
4
5
0.348
1.444
-3.360
-3.699
0.356
1.437
-3.352
-3.704
-8
7
-8
5
3.2
2.0
2.6
3.4
20.0
24.5
24.6
7.4
求（ 1）每公里观测高差中误差
（ 2）第二段观测高差中误差
（ 3）第二段高差平均值的中误差
（ 4）全长一次（往或返）观测高差中误差及全长高差平均值的中误差。
第三章
协方差传播律
十一、系统误差和偶然误差的联合影响
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