目录
【模型一】 三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知的静态平衡模型
【模型二】三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知的静态平衡模型
【模型三】三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系的静态平衡模型。
1.模型情境联想
2.解决该类模型常用的方法有以下三种
①力的合成法
②力的正交分解法
③正弦定理（力的三角形）法
【模型演练1】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，为球心，一质量为 的小滑块，在水平力的作用下静止点。设滑块所受支持力为。与水平方向的夹角为。下列关系正确的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】 A
【解析】 解法一 力的合成法
滑块受力如图甲，由平衡条件知：＝tan θ⇒F＝，
FN＝。
解法二 力的分解法
将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，mg＝FNsin θ，F＝FNcos θ，
联立解得：F＝，FN＝。
解法三 力的三角形法（正弦定理）
如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：F＝，FN＝。
【点睛】通过例题不难发现针对此类题型应采用“力的合成法”解决较为容易。
【模型演练2】（2019·全国·高考真题）用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示．两斜面I、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°．重力加速度为g．当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面I、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对圆筒进行受力分析知圆筒处于三力平衡状态，受力分析如图，由几何关系可知，， ．解得， 由牛顿第三定律知，故D正确
【模型演练3】【多选】（2023·河南·统考二模）如图所示，所受重力大小为G的物体A静止在倾角的固定斜面上，现用水平力推A，在水平力由零逐渐增加至G再逐渐减为零的过程中，物体A始终保持静止。取，。在水平力变化的过程，下列说法正确的是（ ）
B．A对斜面的压力的最小值为零
C．A所受摩擦力的最大值为
D．A所受摩擦力的最小值为零
【答案】AD
【详解】A．在水平力由零逐渐增加至G时，A对斜面的压力的最大，最大值为
A正确；
B．在水平力为零时，A对斜面的压力的最小，最小值为B错误；
C．在水平力为零时，A所受摩擦力方向沿斜面向上，大小为
在水平力为G时，A所受摩擦力方向沿斜面向下，大小为
可知，A所受摩擦力的最大值为，C错误；
D．根据上述，当水平推力沿斜面向上的分力与重力沿斜面向下的分力大小相等时，A相对斜面没有运动趋势，此时A所受摩擦力的最小值为零，D正确。
故选AD。
1.模型情境联想
2.解决该类模型常用的方法有以下二种
①力的正交分解法
②正弦定理（力的三角形）法
【模型演练1】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）如图所示，在演示带电体间的相互作用时发现，用绝缘细线悬挂在支架上质量为m的带电小球B，在均匀带电小球A的作用下保持静止。且知细线与竖直方向夹角，两球心连线与水平方向所成角，重力加速度为g，则下列判断正确的是（ ）
A．细线中张力的大小为
B．小球A所受静电力的大小为mg
C．细线中张力的大小为
D．小球A对小球B的引力要大于小球B对小球A的引力
【答案】B
【详解】AC．小球B受力分析如图
由平衡条件可得
解得细线中的张力大小为
故A、C错误；
BD．而A对B的静电力大小为
且“A对B的引力”与 “B对A的引力”为一对相互作用力，由牛顿第三定律可知其等大反向，故B正确，D错误。
故选B。
【模型演练2】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）如图所示，a、b两个小球穿在一根与水平面成角的光滑固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接，当两球静止时，段绳与杆的夹角也为，段绳沿竖直方向。已知a球质量为m，重力加速度为g，不计所有摩擦，则下列说法正确的是（ ）
A．a受到2个力的作用 B．b受重力、绳子的拉力、杆的支持力
C．b的重力为 D．绳子对b的拉力等于
【答案】C
【详解】B．对b进行受力分析，因为段绳沿竖直方向，故b只受竖直向下的重力和竖直向上的绳子拉力而平衡，有
故B错误。
A．细绳对b有拉力，对a也有等大的拉力，对a进行受力分析，如图
所以a需受3个力才能平衡，故A错误。
D．在a的受力分析图中，垂直杆向上，它与竖直方向的夹角为，沿绳方向，故它与竖直方向的夹角
故
和的合力与a的重力大小相等，由正弦定理
解得故D错误。
C．因为所以b的重力为，故C正确。
【模型演练3】如图所示，四分之一光滑圆弧面AB与倾角为60°的光滑斜面AC顶部相接，A处有一光滑的定滑轮，跨过定滑轮用轻质细绳连接质量分别为m1、m2的两小球，系统静止时连接的绳子与水平方向的夹角为60°.两小球及滑轮大小可忽略，则两小球质量的比值m1∶m2为( )
A．1∶2 B．3∶2 C．2∶3 D.∶2
【答案】 B
【解析】 对m1、m2受力分析如图所示，
对m1有：
m1g＝2FTcos 30°＝FT，
解得FT＝m1g，
对m2有：
FT＝m2gsin 60°＝m2g，
解得m1∶m2＝3∶2.
1.模型情境联想
2.解决该类模型常用的方法有以下二种
①相似三角形法法
②解析法
【模型演练1】如图所示，表面光滑为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方Oˊ处有一个无摩擦定
滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为，
.则这两个小球的质量之比∶为(不计小球大小)
A．24∶1 B．25∶1 C．24∶25 D．25∶24
【答案】：C．
【解析】先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力、绳子的拉力T和半球的支持力N，作出受力图．由平衡条件得知，拉力T和支持力N的合力与重力mg大小相等、方向相反．设OO′=h，根据三角形相似得：得…①
同理，以右侧小球为研究对象，得…②
由①：②得
【模型演练2】如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方L处，当小球B平衡时，绳子所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2.下列关于FT1与FT2、F1与F2大小之间的关系，正确的是( )
A. FT1>FT2 B. FT1＝FT2 C. F1<F2 D.F1＝F2
【答案】BC
【解析】
【详解】以小球B为研究对象，进行受力分析．由平衡条件可知，弹簧的弹力F和绳子的拉力FT的合力F合与重力mg大小相等，方向相反，即F合＝mg，如图所示：
由三角形相似得：
，
又OA＝OB＝L，得FT=mg
故绳子的拉力FT只与小球B的重力有关，与弹簧的劲度系数无关，所以FT1=FT2，当弹簧的劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故长度x增加，F2>F1，故BC正确，AD错误。
1.模型情境联想
2.该类模型的基本特点
（1）、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）、另一个力方向不变，大小可变，
（3）、第三个力大小方向均可变，
方法：矢量三角形法分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化情况。
【模型演练1】【多选】（2019·全国·高考真题）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（ ）
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【详解】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大；
对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加．故本题选BD．
A．先增大后减小 B．先减小后增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】B
【详解】、的合力竖直向上，等于重力，与OA之间的夹角增大的过程中，如图
始终减小，先减小后增大。
故选B。
【模型演练3】如图所示，一铁球用一轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，要使轻绳与竖直方向保持60°角不变，且F最小，则F与竖直方向的夹角θ应为( )
A. 90° B. 60° C. 30° D. 0°
【答案】C
【解析】如图所示，小球受三个力而处于平衡状态，重力G的大小和方向都不变，绳子拉力T方向不变，因为绳子拉力T和外力F的合力等于重力，通过作图法知，当F的方向与绳子方向垂直时，由于垂线段最短，所以F最小，则由几何知识得，C正确．
1.模型情境联想
2.该类模型的基本特点
（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）其余两个力方向、大小均在变
（3）有明显长度变化关系
方法：相似三角形法
A．外力F大小不变 B．轻杆对小球的作用力大小变小
C．地面对木板的支持力逐渐变小 D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【答案】D
【详解】A．对小球A进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示
根据几何关系可知两三角形相似，因此
缓慢运动过程越来越小，则F逐渐减小，故A错误；
B．由于OA长度不变，杆对小球的作用力大小不变，故B错误；
CD．对木板，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的夹角越来越小，所以地面对木板的支持力逐渐增大，地面对木板的摩擦力逐渐减小，故C错误，D正确。
故选D。
A．绳子拉力逐渐变小 B．滑环B的质量不超过0.05kg
C．固定杆给滑环B的弹力方向垂直于杆向上 D．滑环B受到的摩擦力逐渐变小
【答案】B
【详解】对小球A：根据三角形相似
可得
拉力不变；
滑环B：N方向向下
则要想静止N必须大于，则有
可得
故选B。
【模型演练3】如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前，下列说法正确的是（ ）
A．BC绳中的拉力FT越来越大 B．BC绳中的拉力FT越来越小
C．AC杆中的支撑力FN越来越大 D．AC杆中的支撑力FN越来越小
【答案】B
【解析】 以C点为研究对象，分析受力：重物的拉力T(等于重物的重力G)。
轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT做出受力图如右图所示，由平衡条件知：FN与FT的合力与G大小相等，方向相反，根据三角形相似可得：＝＝
解得：FN＝G，FT＝G
由于AC不变，所以FN不变，BC减小，FT减小，故选项B正确。
1.模型情境联想
2.该类模型的基本特点
（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）其余两个力方向、大小均在变
（3）有一个角恒定不变
【模型演练1】【多选】（2017·全国·高考真题）如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N．初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（）．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
【答案】AD
【详解】以重物为研究对象，受重力mg，OM绳上拉力F2，MN上拉力F1，由题意知，三个力合力始终为零，矢量三角形如图所示，
在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确；B、C错误．
【模型演练2】．【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。细线OM、ON与竖直方向夹角分别为、。用、分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．在逐渐增大 B．先增大再减小
C．与的水平分量大小相等 D．与的竖直分量大小相等
【答案】AC
【分析】物体始终保持静止，合力为零，对物体受力分析，受到mg、F1、F2三个力，这三个力构成一个封闭的矢量三角，在旋转过程中，对矢量三角形动态分析即可。
【详解】AB．物体始终保持静止，合力为零，所以mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示，由于重力不变，以及F1和F2夹角为90°不变，矢量三角形动态图如右图所示，mg始终为圆的直径，两绳同时缓慢顺时针转过45°过程中，F1一直增大，F2一直减小，故A正确，B错误；
CD．与的水平分量大小相等，竖直分量的合力与重力大小相等，故C正确，D错误。
故选AC。
【点睛】题以共点力的平衡为命题背景考查学生的推理能力和分析综合能力，解题的关键的画出矢量三角，结合几何关系分析力的变化，难度适中。
【模型演练3】．【多选】（2023·全国·高三专题练习）粗糙水平地面上有一质量为M、倾角为30°的粗糙楔形物体C，斜面上有一个质量为的物块B，B与一轻绳连接，且绕过一固定在天花板上的定滑轮，另一端水平与一结点连接一个质量为m的小球A，右上方有一拉力F，初始夹角，如图所示。现让拉力F顺时针缓慢转动90°且保持α角大小不变，转动过程B、C始终保持静止。已知B与滑轮间的细绳与斜面平行，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．拉力F一直减小
B．BC间的摩擦力先减小再增大
C．物体C对地面的压力先减小再增大
D．物体C对地面的摩擦力的最大值为
【答案】AC
【详解】A．对题图右侧结点处受力分析，α角大小不变，可以使用辅助圆方法判断力的动态变化情况，如图所示
通过分析可得先增大再减小，F一直减小，A正确；
B．初始状态，对A分析可得绳子拉力，对B分析，可发现
即一开始B与C间的静摩擦力为零，故当绳子拉力从先增大再减小到，B、C间的静摩擦力方向一直沿斜面向下且先增大再减小，B错误；
CD．将B、C看成整体，竖直方向有
由于先增大再减小，故先减小再增大，故物体C对地面的压力先减小再增大，故C正确；
D．水平方向上有
当最大时，即此时F水平，对A分析可计算得
所以
故D错误。
故选AC。
1.模型情境联想
2.模型识别
(1).一根绳子绕过光滑的滑轮或者光滑挂钩下挂一个物体，呈现“Y”字型结构特征。
(2).物体处于平衡状态。
3.模型构建
(1).受力大小特征—无论绕过光滑的滑轮、圆环、挂钩，只要是一根绳子，张力大小处处相等。
(2).受力方向特征—“Y”字型平衡模型，等大的两个拉力关于竖直方向对称。
4.经典情景如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。
设两杆间距离为d，绳长为l，Oa、Ob段长度分别为la和lb，则l＝la＋lb，两部分绳子与竖直方向夹角分别为α和β，受力分析如图所示。
绳子中各部分张力相等，Fa＝Fb＝F，则α＝β。
平衡条件2Fcos α＝mg，
d＝lasin α＋lbsin α＝lsin α，即sin α＝，
F＝，绳的右端上移到b′，d和l均不变，则sin α为定值，α为定值，cos α为定值，绳子的拉力保持不变，将杆N向右移一些，d增大，则sin α增大，cos α减小，绳子的拉力增大；若换挂质量更大的衣服，d和l均不变，绳中拉力增大，但衣服的位置不变。
5.建模感悟
(1)该平衡模型首先形状上呈现Y字形，应用力学对称思想。对称思想是物理学习中最重要的思想方法之一，运动学中竖直上抛模型就具有空间的对称性，根据对称性我们研究其一半运动，就可以化繁为简。同理后边我们还要学习能量守恒、动量守恒，他们具有关系对称，掌握了对称性，就掌握了一把打开物理殿堂的金钥匙。另外大多数对称模型属于见“形”起“意”，见“形”思“迁”，学习画图，根据图形特征，选择对应的解题技巧，是学习物理的重要方法。
6.“Y”字型平衡模型解决问题的两个要点
①绕过光滑的滑轮、圆环、挂钩，只要是一根绳子，张力大小处处相等
②平衡条件：
A．可求得滑块B的质量为mB=m
B．若将O点处的线端沿水平杆向右缓慢移动L，则细线拉力大小减小，滑块A下降
C．若将O点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动L，则细线拉力大小不变，滑块A上升
D．若将O点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动L，则细线拉力大小不变，滑块A高度不变
【答案】D
【详解】A．对物块A受力分析可知细线上的拉力大小为
对滑轮Q受力分析可知
解得
A错误；
B．若将O点处的线端沿水平杆向右缓慢移动L，物块A处于平衡状态，则细线拉力大小不变，B错误；
CD．若将O点处的线端沿竖直杆向下缓慢移动L，物块A处于平衡状态，则细线拉力大小不变，由于细线拉力不变，则滑轮两侧细绳间的夹角不变，如图所示
根据几何关系知，PM的长度就代表了P轮左侧绳子的总长
因为夹角不变，MN之间的距离不变，则PM绳子总长不变，所以物体A的高度没有发生变化，C错误，D正确；
故选D。
【模型演练2】．（2016·全国·高考真题）如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为（ ）
A． B． C．m D．2m
【答案】C
【详解】设悬挂小物块的点为，圆弧的圆心为O，由于ab=R，所以三角形为等边三角形。
根据几何知识可得，而每一条绳子上的张力大小相等，故有
小物块受到两条绳子的拉力作用大小相等，夹角为120°，故小物块受到绳子拉力的合力等于mg，因为小物块受到绳子的拉力和重力作用，且处于平衡状态，故拉力的合力等于小物块的重力为mg，所以小物块的质量为m。
故选C。
【点睛】解决本题关键是能根据题目给出的几何关系确认拉小物块的两绳夹角为120°，再根据两个大小相等互成120°两力的合成结论求解即可。
【模型演练3】．(2023·江西省横峰中学、铅山一中等校联考)有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B两端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M的重物的光滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E两端按图乙的方式固定，然后将同样的定滑轮且挂有质量为M的重物挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2.现甲绳的B端缓慢向下移动至C点，乙绳的E端缓慢向右移动至F点，在两绳的移动过程中，下列说法正确的是( )
A．FT1、FT2都变大 B．FT1变大、FT2变小 C．FT1、FT2都不变 D．FT1不变、FT2变大
【答案】 D
【解析】 设绳子总长为L，两堵竖直墙之间的距离为s，左侧绳长为L1，右侧绳长为L2.由于绳子上的拉力处处相等，所以两绳与竖直方向夹角相等，设为θ，则由几何知识，得：s＝L1sin θ＋L2sin θ＝(L1＋L2)sin θ，又L1＋L2＝L
得到sin θ＝；设绳子的拉力大小为FT，重物的重力为G.以滑轮为研究对象，根据平衡条件得2FTcos θ＝G，
解得：FT＝；可见，对题图甲，当绳子右端慢慢向下移时，s、L没有变化，则θ不变，绳子拉力FT1不变；对题图乙，当绳子的右端从E向F移动的过程中，由于绳子的长度不变，所以两个绳子之间的夹角θ增大，cos θ减小，则绳子拉力FT2增大，故A、B、C错误，D正确
1.（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）如图所示，顶端有定滑轮的斜面体A固定在水平面上，跨过滑轮细绳一端接物块B，另一端与竖直杆相连，另有轻质动滑轮跨过细绳与重物C相连，整个系统处于静止状态。现缓慢地向右移动竖直杆，B保持不动，下列说法正确的是（ ）
B．B受到的摩擦力可能一直增大
C．B受到的摩擦力一直减小
D．B受到的摩擦力可能先增大后减小
【答案】B
【详解】A．斜面体A和物块B均不动，设定滑轮右侧绳子长度为L不变，杆到斜面体间距离d，绳子与竖直方向的夹角为。由几何关系可知
缓慢地向右移动竖直杆，杆到斜面体间距离d增大，则增大。
选动滑轮为研究对象，进行受力分析，由平衡关系可知
增大则F增大，故A错误；
BCD．物块B原来平衡时，B与斜面间摩擦力情况有三种，可能不受摩擦力，可能受沿斜面向上摩擦力，也可能受沿斜面向下的摩擦力，当F增大时，物块B的摩擦力对应三种情况，可能增大，可能减小，也可能先减小后增大，故B正确，C、D错误。
故选B。
2．（2023秋·河南三门峡·高三统考阶段练习）如图所示，倾角为、质量为的斜面置于粗糙的水平面上，斜面上放有质量为的物体B，一被压缩的轻弹簧水平夹在B与竖直墙壁之间。已知与间，与地面间的动摩擦因数分别为和，最大静摩擦力等于动摩擦力，重力加速度为，弹簧处于弹性限度内。若、B始终保持静止，则（ ）
A．
B．A受到地面对其水平向左的摩擦力
C．弹簧的弹力一定为
D．A受到地面的摩擦力大小一定为
【答案】B
【详解】A．A一定会受到重力，B对A的压力，地面的支持力和地面的摩擦力，B对A是否有摩擦与弹簧弹力大小有关，如果弹簧的弹力合适，可能B对A恰好没有摩擦，因此A可能受4个力作用，A错误；
B．将A、B作为一个整体，可知地面对A的摩擦力水平向左，与弹簧对B的弹力等大反向，B正确；
C．若A、B之间恰好没有摩擦力，对物体B进行受力分析可知
此时的弹力
若弹力稍大，则物体B有上滑的趋势，受斜面的摩擦力沿斜面向下，因此弹簧的弹力不一定为，C错误；
D．由于A与地面之间是静摩擦力，不能按滑动摩擦力公式计算，摩擦力的大小是由弹簧的弹力大小决定的，D错误。
故选B。
A．c对b的摩擦力一直增大
B．地面对c的支持力先增大后减小
C．当时，c对地面的摩擦力方向水平向左
D．当时，地面对c的摩擦力为
【答案】D
【详解】A．对小物块b受力分析，若开始，c对b的摩擦力方向沿斜面向下，有
当增大时，变大；若开始，c对b的摩擦力方向沿斜面向上，有
当增大时，先减小后反向增大，故A错误；
BC．对b、c整体受力分析，有
地面对c的支持力N一直减小，地面对c的摩擦力方向始终水平向左，则c对地面的摩擦力方向水平向右，故BC错误；
D．当时，有
故D正确。
故选D。
4.【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图（a）所示，将一右端固定有光滑定滑轮的轻杆固定在竖直挡板上，轻绳ABC跨过光滑的定滑轮悬吊质量为m1=1kg的物块；如图（b）所示，将一轻杆用转轴固定在竖直挡板上，两段轻绳DE、EF系在杆的右端并悬吊质量为m2=1.5kg的物块。已知两杆均水平，且绳子的倾斜部分与水平方向的夹角均为30°，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
B．图（b）中DE绳的拉力大小为15N
C．图（a）中轻杆对滑轮的支持力大小为10N
D．图（b）中轻杆对结点的支持力大小为15N
【答案】AC
【详解】A．对（a）、（b）两图中的B、E点分别进行受力分析，如图甲、乙所示
图甲中轻绳ABC跨过定滑轮拉住质量为m1的物块，物块处于平衡状态，轻绳AB的拉力大小为
FAB=FBC=m1g=10N
故A正确；
BD．图乙中由于杆可自由转动，因此杆对结点的作用力方向一定沿杆的方向，则由平衡条件可知
FDEsin30°=FEF
FDEcos30°=F乙
又
FEF=m2g
代入数据解得轻绳DE的拉力为
FDE=30N
轻杆对结点的支持力大小为
故BD错误。
C．由于图甲中的杆为固定的杆，因此杆对滑轮的作用力不一定沿杆的方向，因为AB绳与BC绳的夹角为120°，故分析可得轻杆对滑轮的支持力大小为
F甲=FAB=FBC=10N
故C正确。
故选AC。
5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）如图所示，倾角为的固定细杆上套有一小球P，另一个小球Q通过细线与小球P连接，对小球Q施加一个水平向右的作用力F，系统静止时，两小球之间的细线恰好与细杆垂直，已知小球的质量分别为m、，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．作用力F的大小为
C．细线张力的大小为
D．细杆对小球P的弹力的大小为
【答案】B
【详解】AC．设细线张力大小FT，对小球Q受力分析，水平方向
竖直方向
解得
故AC错误；
BD．对小球P受力分析，沿细杆方向
垂直细杆方向
故B正确，D错误。
故选B。
6．（2023·全国·高三专题练习）春节期间人们都喜欢在阳台上挂一些灯笼来作为喜庆的象征。如图所示，是由六根等长的轻质细绳悬挂起五个质量相等的灯笼1、2、3、4、5，中间的两根细绳BC和CD的夹角，下列选项中正确的是（ ）
B．AB的延长线不能平分2灯与绳BC之间的夹角
C．绳AB与绳BC的弹力大小之比为
D．绳MA与绳AB的弹力大小之比为
【答案】D
【详解】BC．对灯笼3受力分析可知
解得
设AB绳与竖直方向成夹角为，对灯笼2受力分析可知
解得
由数学知识可知AB的延长线能平分2灯与绳BC之间的夹角，且有
故BC错误；
AD．设MA绳与竖直方向成夹角为，对灯笼1受力分析可知
解得
由数学知识可知MA的延长线不能平分1灯与绳AB之间的夹角，且有
故A错误，D正确。
故选D。
7．（2023·山东·统考二模）为庆祝全国两会胜利召开，某景区挂出34个灯笼（相邻两个灯笼之间用轻绳等距连接），灯笼上依次贴着“高举中国特色社会主义伟大旗帜，为全面建设社会主义现代化国家而团结奋斗”的金色大字，从左向右依次标为1、2、3、……、34。无风时，灯笼均自然静止，与“全”字灯笼右侧相连的轻绳恰好水平，如图所示。已知每个灯笼的质量均为，取重力加速度，悬挂灯笼的轻绳最大承受力，最左端悬挂的轻绳与竖直方向的夹角为θ。，。下列说法正确的是（ ）
A．夹角θ的最大值为45°
B．当夹角θ最大时，最底端水平轻绳的拉力大小为
C．当时，最底端水平轻绳的拉力大小为204N
D．当时，第4个灯笼与第5个灯笼之间的轻绳与竖直方向的夹角为45°
【答案】B
【详解】A．分析可知，当绳子拉力达到最大时，夹角θ的值最大，以整体为研究对象，根据平衡条件竖直方向有
解得
可得
A错误；
B．当夹角θ最大时，以左边17个灯笼为研究对象，水平方向
解得
B正确；
C．当时，以左边17个灯笼为研究对象，根据几何关系可得
解得
C错误；
D．当时，以左边第5个灯笼到17个灯笼为研究对象，根据几何关系可得
解得
可知第4个灯笼与第5个灯笼之间的轻绳与竖直方向的夹角不为45°，D错误。
故选B。
8.【多选】（2023·全国·高三专题练习）如图所示，质量为m = 5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数，g取10m/s2。当物体做匀速直线运动时，下列说法正确的是（ ）
B．牵引力F的最小值为
C．最小牵引力F与水平面的夹角为30°
D．最小牵引力F与水平面的夹角为45°
【答案】AC
【详解】对物体受力分析，如图所示
由共点力的平衡条件可知，在水平方向上有
Fcosθ－Ff= 0，Ff= μFN
在竖直方向上有
Fsinθ＋FN－mg = 0
联立解得
设tanφ =μ，则
所以
当
cos(θ－φ) = 1
即
θ－φ = 0
时，F取到最小值
而
φ = 30°
θ = 30°
故选AC。
9.(2023·广东百校联盟)质量为M的半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端固定一个竖直挡板AB，在
P上放两个大小相同的光滑小球C和D，质量均为m，整个装置的纵截面如图所示．开始时P、C球心连线与水平面的夹角为θ，点P、D球心连线处于竖直方向，已知重力加速度为g.则下列说法正确的是 ( )
A．P和挡板对C的弹力分别为和 B．地面对P的摩擦力大小为零
C．使挡板缓慢地向右平行移动，但C仍在P和挡板AB作用下悬于半空中，则地面对P的摩擦力将不断增大
D．使挡板绕B点顺时针缓慢转动，P始终保持静止，则D一定缓慢下滑
【答案】：C
【解析】：对D受力分析，受到重力mg和P的支持力FN；对C受力分析，受到重力mg、挡板AB的支持力FN1和P对C的支持力FN2，如图所示，根据平衡条件，得FN1＝，FN2＝，选项A错误；以P、C、D整体为研究对象，进行受力分析，受到三者的重力、挡板AB的支持力FN1，地面的支持力FN3，地面的静摩擦力f，根据共点力平衡条件，有FN3＝(M＋2m)g，f＝FN1，选项B错误；使挡板缓慢地向右平行移动，由于θ不断减小，故f不断增大，选项C正确；由于P、D球心连线处于竖直方向，当使挡板绕B点顺时针缓慢地转动时，小球D可继续保持静止，选项D错误．
10.(2023·商丘模拟)如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔．质量为m的小球
套在圆环上．一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力FN的大小变化情况是 ( )
A．F不变，FN增大 B．F不变，FN减小 C．F减小，FN不变 D．F增大，FN减小
【答案】 C
【解析】 小球沿圆环缓慢上移可看作处于平衡状态，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，由图可知△OAB∽△GF′A即：＝＝，当A点上移时，半径不变，AB长度减小，故F减小，FN不变，故C正确．
11．（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（ ）
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
【答案】B
【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知
联立解得
故A错误，B正确；
C．拉力的大小为
其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误；
D．摩擦力大小为
可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误；
故选B。
12.（2017·全国·高考真题）一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm的两点上，弹性绳的原长也为80cm；将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）（ ）
A．86cm B．92cm C．98cm D．104cm
【答案】B
【分析】本题属于共点力平衡问题，首先对物体进行受力分析，再根据正交分解法将各个力分解成两个方向上的力，然后列式求解；如果物体受到三力处于平衡状态，可根据矢量三角形法，将三个力移动到一个三角形中，然后根据正弦定理列式求解。前后两次始终处于静止状态，即合外力为零，在改变绳长的同时，绳与竖直方向的夹角跟着改变。
【详解】设弹性绳的劲度系数为k，左、右两半段绳的伸长量
由共点力的平衡条件可知，钩码的重力
将弹性绳的两端缓慢移至天花板上同一点时，钩码的重力
G = 2kDL′
解得
DL′ = 0.6DL = 6cm
则弹性绳的总长度变为
80cm + 2DL′ =92cm
故选B。
13．【多选】（2016·全国·高考真题）如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO'悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则（ ）
A．绳OO'的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
【答案】BD
【详解】AC．物块b仍始终保持静止，可知物块a也始终保持静止，滑轮两侧绳子的夹角也不变，可知连接a和b的绳的张力等于物块a的重力，所以连接a和b的绳的张力保持不变，夹角不变，所以绳OO'的张力也不变，故AC错误；
BD．对b进行受力分析可知，当若F方向不变，大小在一定范围内变化时，而重力mg和绳子的拉力FT保持不变，所以物块b所受到的支持力也在一定范围内变化，物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化，故BD正确。
故选BD。
14.(2023·黑龙江省齐齐哈尔市调研)重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳按如图所示连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为( )
A.G B.G C．G D.G
【答案】 A
【解析】 对A球受力分析可知，因O、A间绳竖直，则A、B间绳上的拉力为0.对B球受力分析如图所示，则可知当F与O、B间绳垂直时F最小，Fmin＝Gsin θ，其中sin θ＝＝，则Fmin＝G，故A项正确．
联系客服
