1、托勒密定理：圆的内接四边形对边的乘积之和等于对角线的乘积．
在圆内接四边形中，两条对角线长度的积等于它的两组对边乘积的和，即
AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．
证明：过C作CE交BD于E，使∠ACD＝∠BCE．
又∵∠DAC＝∠CBE
∴△ACD∽△BCE．
∴AD/BE＝AC/BC，则BE·AC＝AD·BC①．
又∵∠ACB＝∠DCE，∠BDC＝∠BAC，
∴△ACB∽△DCE．
∴DC/AC＝DE/AB，则AC·DE＝AB·DC②．
①＋②得 AC（BE＋DE）＝AB·CD＋AD·BC，
即AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．
2、圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理的统一，例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。
根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。则有AE·CE＝BE·DE。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。则有PA²＝PC·PD。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD。
点对圆的幂
定义：P点对圆O的幂定义为 OP²—R²。
性质：
点P对圆O的幂的值，和点P与圆O的位置关系有下述关系：
点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；
点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；
点P在圆O上→P对圆O的幂为0。
注意：以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系判断点对的圆的幂的符号，还可以逆向应用，通过点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系。
在某些书中，点P对圆O的幂表示为 |OP²—R²|。
3、如图1，延长△PAM的边AM至点B，得△PBM，根据面积公式可以证明以下定理．
图1
共高定理：
若M在直线AB上，P为直线AB外一点，
则有S△PAM：S△PBM＝AM：BM．
证明：如图1，
因为S△PAM＝1/2AM·PM，S△PAM＝1/2BM·PM，
所以S△PAM：S△PBM＝AM：BM．
【举一反三】如图2，点P在△ABC的边BC上，且∠BAP＝∠CAP，试用共高定理推出PB：PC＝AB：AC．
图2
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则S△PAB/S△QAB=PM/QM
证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证
证法2：S△PAB=(S△PAM-S△PMB)
=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB
=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）
同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB
所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）
4、梅涅劳斯定理是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理
设直线l分别与△ABC的三边（或边的延长线）相交于点D、E、F，则有
直线l与三角形的三边相交，有两种情形：
（1）其中两个交点在边上，一个交点在边的延长线上，如图1；
（2）三个交点均在边的延长线上，如图2．
梅涅劳斯定理在处理直线形中线段长度比例的计算时，尤为快捷．值得一提的是，其逆定理也成立，可作为三点共线、三线共点等问题的判定方法．下面给出梅涅劳斯定理的几种精彩证明，证明中仅以图1作为示例．
证法1 平行线法
如图3，过点C作CG∥DF交AB于点G，则
BD/DC＝BF/FG，CE/EA=GF/FA，
证法2 共边定理法
如图4，由共边定理知
证法3 共角定理法
如图1，由共角定理知
共角定理：若两三角形有一组对应角相等或互补，
则它们的面积比等于对应两边乘积的比。
即：若△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠EAD ，则S△ABC÷S△AED=
证明：法一：由三角形面积公式S= ×a×b×sinC可推导出
S△ABC=1/2×AB×AC×sinA
S△ADE=1/2×AD×AE×sinA
∴S△ABC：S△ADE=AB×AC：AD×AE
法二： 看到面积可作垂直做铺垫。如图，
分别过B、D点作AC垂线DF、BG交AC于点F、G。
则DF∥BG。
∴∠ADF=∠ABG
∵S△ABC：S△ADE=AC×BG：AE×DF
∠ADF=∠ABG
∴AD：DF=AB：BG
∴AD：AB=DF：BG
∴S△ABC：S△ADE=AB×AC：AD×AE。
阿波罗尼斯圆：一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。
如图，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA∶PB＝ m∶n ，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上）且
AM∶MB＝AN∶NB＝m∶n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。
下面先证明两个定理：
一、如图一，已知M是BC上一点，且AB∶AC＝BM∶MC，
求证：AM平分∠BAC（三角形内角平分线定理的逆定理）
证明：过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB∶AD＝BM∶MC
∵AB∶AC＝BM∶MC
∴AB∶AD ＝AB∶AC
∴AC＝AD，
∴∠D＝∠3
∵CD∥AM
∴∠1＝∠D，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AM平分∠BAC。
二、如图二，N是BC延长线上一点，BN∶CN＝AB∶AC，求证：AN平分∠BAC的邻补角∠EAC
证明：∵CD∥AN交AB于D
则BN∶CN＝AB∶AD
∵BN∶CN＝AB∶AC
∴AB∶AD＝AB∶AC，AD＝AC
∴∠3＝∠4，∵DC∥AN
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC
连结PM、PN
∵M为AB的内分点， PA∶PB＝AM∶MB ＝m∶n
∴PM平分∠APB
∵N为AB的外分点，AN∶BN＝PA∶PB ＝m∶n
∴PN平分∠BPE，
∵∠APB＋∠BPE＝180o，又∠2＝∠APB/2，∠3＝∠BPE/2，
∴∠2＋∠3＝（∠APB＋∠BPE）/2
即∠MPN＝90o，∴动点P到MN的中点O的距离等于MN（定值）的一半（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），点P的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆
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