逻辑学笔记（1）

我们日常生活中常用的【概念】一词，用集合论语言表述就是：
概念 = {x ∈ 论域 | 属性(x)}
论域中满足某个属性的子集合。

那【属性】是什么？【属性】在「普通逻辑」中常称作「性质」，用自然语言就很难说明白，比较典型的说法是：性质是事物所反映出的特征，是物体各个方面的内外表现形式。

集合论对属性的表述就是【函数】—— 一种映射关系：从论域元素到真值的映射关系。

如果真的掌握了做证明题的方法和思维方式，就算你把数学本身的内容忘得干干净净也算是得了数学的精神和真传。

【定义】的任务就是严格界定所定义的对象是什么。对一个数学概念/对象下定义，首先要满足两个要求：精确、无歧义。在这个世界上能和数学定义的严谨相媲美的大概就是法律条文了，不过法律条文仍然存在“解读”的空间，而数学定义则不允许做任何不同的“解读”。

从欧几里得开始，把解决这类追逐概念的问题叫做公理化的过程，亦即，你追问多个问题后，到了某个阶段，我将不再用其它概念/对象解答你的问题，而是用同义反复的句型回答你的问题。例如，经过多个问题后，最后的问题是：什么是“点”？欧几里得的回答是：点就是点，不是点以外的什么东西，而且你可以靠你的直觉知道“点”是什么。更重要的是，我们大家都知道“点”是什么。现代数学中“集合”的概念也是没有定义的，因为集合是其它数学对象定义的起点、基础，例如，“数”的概念可以用集合定义。
陈述这些不能再用其它概念定义的概念/对象的句子，就称作“公理”——公认的道理。公理，其实就是一个命题，这个命题的真值是人为设定而不需要推理证明的。