体积很小，但面积无限大的物体——揭示了一个深刻的数学哲学问题

伽利略常被认为是现代科学之父。是他把实验原理、理论原理和数学原理结合在一起，形成了一个标准的框架。伽利略对现代科学的发展做出了巨大的贡献。

伽利略从比萨斜塔上扔下两个质量不同但材料相同的钢球，它们同时落地。这个实验的非凡之处在于，他开创了一种新的科学研究方法，通过实验来验证假设。他告诉我们，我们要做的不仅仅是认为某件事是真的，我们还要证明它。

大多数历史学家认为，伽利略在比萨斜塔上进行的著名实验从未发生过。伽利略在担任比萨大学数学系主任时，发现了一个有趣的悖论。

定义：一个悖论，也称为二律背反，是一个逻辑上自相矛盾的陈述，或有悖于人的期望的声明。（维基百科）。

伽利略的悖论是关于确定两个包含无限物体的集合是否相等。例如，设P是P={0,1,2,3，…}的正整数集合，E是E ={0,2,4,6，…}的偶数集合。伽利略认为，这两个集合的大小是相同的，因为我们可以把集合P中的每个正整数与集合E中的偶数配对。

那么，当E中出现“较少”的数字时，两个集合的大小如何相同呢？这被称为“伽利略悖论”，并引发了一场关于无穷大概念的新辩论。

伽利略之后，他的学生托里塞利成为比萨大学数学系的系主任。由于托里塞利也对数学感兴趣，他问道：

是否存在体积有限但面积无限大的物体？

首先，我们直觉上觉得这样的东西不存在。然而，数学告诉我们这样的事情是可能发生的。托里塞利自己回答了他的问题，发现了“托里塞利小号”，它的表面积是无限的，但它的体积是有限的。他的发现被视为一个“不可思议”的悖论。

托里塞利小号是怎么形成的呢？我们都知道如何画出y=x。如果你画出方程y=1/x，图像会是这样的：

当我们取y=1/x的图像并绕x轴旋转时，我们就看到了托里塞利小号。

幸运的是，我们有数学公式来计算托里塞利小号的面积和体积。当我们对小号的体积使用下面的积分公式时，我们得到的是一个有限的体积。

但是，当我们对小号的表面积应用积分公式时，其表面积将变为无穷大。这个结果有趣吗？

由于托里塞利小号的体积是有限的，我们可以用有限的材料来制作它。例如，我们假设它的体积是100升。我去买了100升油漆，把它灌满。然而，有趣的是我用100升的材料做出了无限大的表面。

在实践中，不可能的情况在数学上变成了可能。那么，托里塞利小号怎么可能是真的呢？或者，在伽利略的例子中，当一个集合是另一个集合的子集时，我们如何精确地匹配集合的所有元素？

所有这些冲突的原因是，无穷大的概念不同于我们所知道的其他概念，这让很多人感到困惑。伽利略在他的悖论中说，

反对它是徒劳的。我正在研究的集合是包含无穷大的闭集的例子。它们从一点开始，一直延伸到无穷大，但它们仍然是固定的。然而，我对无穷大的看法和概念必须与我对有限大小的看法和概念不同。如果你在处理有限的数字，如3公斤小于5公斤，或者32米比7米长。但当它达到无穷大时，你不能说这个无穷大比哪个无穷大大，比哪个无穷小小，或等于哪个无穷大。

这就是伽利略在17世纪提出的解决方案。

不幸的是，伽利略的解决方案引发了一场关于无穷大的新争论。直到康托尔公布了他的“集合论”，数学家和哲学家们才能对一个具体的答案达成一致。

无限这个概念首先出现在埃利亚学派，这是一个前苏格拉底哲学学派，由巴门尼德在公元前5世纪早期的埃利亚古城建立。这个学派里有三位伟大的哲学家，如芝诺、色诺芬尼和巴门尼德。在这个学派里，公认的哲学的存在是单一的，没有多元性。芝诺以他在《无限》中的悖论而闻名于世。在公元前300年代后期，亚里士多德提出了两个概念来解释芝诺的悖论，即潜在的无限和现实的无限。

潜在的无限是一组数字或一组“事物”，它们没有终止，没有可识别的终点。真正的无限包括在一个有始有终的空间里的无穷集合或“事物”，它是一个在技术上是“完成的”但由无限个成员组成的序列。

亚里士多德相信没有真正的无限。直到17世纪，亚里士多德的思想一直主导着哲学界。然后像库萨和布鲁诺这样的哲学家声称存在真正的无限，但我们无法理解它。在库索和布鲁诺之后，伟大的思想家斯宾诺莎加入了这个主题。

斯宾诺莎说，我们可以理解无穷大的概念，并按大小排列它们。然而，他也表示，他无法对他们进行计算。例如，他可以把3加到5，但是他不能把一个无穷大加到另一个无穷大。

最后，为了结束这些争论，康托尔出现了，他发现了集合理论，这至今仍然是数学的基础。他用他的集合论确定了无穷大的所有概念。

康托尔

他告诉我们一个无限集比另一个无限集更大或更小。此外，康托尔声称我们可以对无限集进行加法和乘法运算。在此之前，人类一直遵循亚里士多德关于无限的思想。根据亚里士多德的说法，如果我们把3乘以无穷大，它还是无穷大。无限会吞噬一切。基于此，他声称只有潜在的无穷大，而不是实际的无穷大。

然而，康托尔用集合论向我们证明了亚里士多德是错的。如果我们在一个无限集合上加1，它就不再是同一个集合了。例如，康托尔证明（0,1）→的所有函数的集合都是可数的。因此，他定义了从区间（0,1）到自然数的一对一函数。

换句话说，他证明了所有自然数都可以在0和1之间取对应值，因为在0 - 1之间有无限的有理数，这些无限大可以成对出现。然后，他比较了实数的无穷大和自然数的无穷大，发现实数的无穷大比自然数的无穷大大。他甚至说：

我看到了，但连我都不敢相信……

康托尔虽然是一位数学家，但有着非常严肃的哲学和宗教思想。在发展集合论的时候，他说，“上帝支配了我的集合论”。

集合论最初发展时没有被广泛接受。数学家亨利·庞加莱曾经说过：

康托的思想是一种困扰数学的顽疾。总有一天数学会给他治病的。

康托尔不得不去精神病院住了一段时间，但不幸在医院去世了。

康托尔是一个处在无限边缘的孤独的人。他在他那篇关于超限数的文章的开头引用了《圣经》的一句话：

“凡被隐藏的，必将显露出来。”