题目：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝45°，点D，E分别为边BC，AC上一点，BE与AD相交于点F，将线段AC绕点A顺时针旋转得到线段AG，点G恰好在线段BE的延长线上．
若BD＝AE，F为BE的中点，猜想线段BE和AD之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
首先说明：这道题可以用相似去证明，对相似熟悉的同学，证起来还是比较简单，大家可以自行查阅答案。
针对这道题，我还是用构造全等的方法来阐述思路：
1、F为BE的中点如何用？
①根据RT△BAE，斜中半可以得到AF=BF=EF，不妨设∠FBA=∠FAB=α；
②同时可以倍长中线构造全等三角形；
截取FH=FD，则△BDF≌△EHF；
所以BD=EH，∠DBF=∠HEF设为β；则α+β=45°；
③全等三角形进行边角转化，得到等腰△EHA
因为BD=EH，BD=AE，则BD=EH=AE
通过倒角可以得到∠EAH=∠EHA=90°-α，则∠HEA=2α
在△BAE中，根据三角形内角和定理可得：3α+β=90°
又因为α+β=45°，所以解得α=β=22.5°
2、如下图：辅助线最终呈现效果
①最开始的思路是：作AM⊥AD，且AM=AD，得到等腰RT△DAM；连接EM，想证明四边形DBEM为平行四边形；但是通过证明发现缺少条件，没有很好的办法证明H、E、M三点共线；
②所以转换思路，辅助线变更为：作AM⊥AD，延长HE与AM相交于点M，连接DM；然后证明△DAM为等腰RT三角形，从而证明四边形DBEM为平行四边形；
③因为α=β=22.5°，所以∠EAM=22.5°，∠HEA=45°=∠CEM，∠EMA=22.5°；则△AEM为等腰三角形；
④证明AD=AM
作DN⊥DB交AB于点N，则△DBN为等腰RT三角形
所以DB=DN=AE，∠NDAA=22.5°=∠NAD
可以证得△DNA≌△MEA（SAS）
所以AD=AM，所以△ADM为等腰RT三角形；
3、证明四边形DBEM为平行四边形
①由△DNA≌△MEA（SAS）得到ME=DN=BD；
②因为∠CEM=∠BEA=∠C=45°，所以EM∥BC；
③所以EM平行且等于BD，所以DBEM为平行四边形，所以DM=BE；
④又因为等腰RT△DAM，则DM=√2AD，所以BE=√2AD
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