不知道你的基础是什么，也不知道你学量子力学的目的是什么。
如果是为了高级科普，那就不要太在意计算的部分了，会很枯燥。
在这种情况下，其实不需要什么基础。数学上，看得懂微积分、对矩阵什么的有概念就可以了。例如碰到一个薛定谔方程，不必一定真得亲手去解，而只要能看得懂书上给出的解即可。物理上，不妨简单粗暴地无视掉“态”与“波函数”，或“矢量”与“列矩阵”，或“算符”与“厄米矩阵”之间的差别；多看看物理学史什么的，以便了解来龙去脉；或者多上网逛逛、多围观围观热心民科（此处无贬义）的讨论帖。
如果是为了从事研究，那就先把基本功练好，好好理解基本概念，比如上文所说的那些差别，还有全同性什么的。
也就是说，数学上，书上能解的方程你也要会解、线性代数要熟练；物理上，多辨析不同的概念。可以有各种奇怪的想法，但还是要避免太过于民科。
所谓“相关基础”的具体内容要看你的课程思路了。抱歉我没有看过斯坦福的量子力学公开课，所以不能有针对性地来说。我觉得目前主流的量子力学课思路有两条：一是从波动力学开始讲，二是从矩阵力学开始讲。
如果是波动力学的思路，那么这样的量子力学课程一般就会是“叫兽教你解薛定谔方程”的样子了。那么它的数学基础就是解！方！！程！！！这就要熟悉“数学物理方程”这方面的内容。当然不用学其中的全部，对于入门级的量子力学来说，搞定厄米多项式（谐振子里会用到），勒让德多项式、连带勒让德函数、球谐函数（氢原子里会用到，确切地说是球坐标系下几乎到处都是这些东西），贝塞尔函数、球贝塞尔函数等等。所谓“搞定”指的是你必须知道它们是那一类方程的解，它们有什么递推性质，它们的积分怎么算等等。还有，傅里叶变换要会用，不过暂时不用太学仔细。
以上所说的是薛定谔方程可以精确求解时的情况。如果没有精确解或者很难求出精确解，那这时就会用到“微扰论”了。我个人认为所谓的“微扰论”只不过是求方程近似解的一种特定的数学手段罢了，不是什么物理内涵丰富的东西。“微扰论”其实也不过就是解微分方程，但是需要用到比较多的线性代数内容。就是说要对矩阵运算、矩阵的本征值与本征矢量、线性空间的不变子空间等等等等（没太大的把握说得很详尽）的概念很熟练。当然不熟也没事，只不过算东西会走弯路，增大计算量。举个例子，氢原子的Stark效应如果用笨办法硬算的话够你算三天了，但如果线性代数技巧过关的话一般20分钟出结果。
在波动力学的思路下当然也会涉及到一些矩阵力学的内容。那些的数学基础也是线性代数为主吧。
如果是矩阵力学的思路，那刚开始时会线性代数就够了，不过必须非常熟练。几乎不用解那些层出不穷的乱七八糟的方程了。当然最基本的微积分肯定不能少。后期可能会碰到一些群论的内容，但那不是所谓的“基础内容”了，一般书上都会对它将要用到的群论知识有所讲解，所以用到时再学即可，不必特地学完群论再来看量子力学。
以上是数学方面的内容，接下来说物理。
物理上，很多人都说波动力学更像经典力学，出于一些诸如“都是用微分方程解运动规律”之类的理由；而相比之下矩阵力学的框架体系与经典力学差的很远，所以难以上手。
我个人认为，这些理由根本都是扯。从我个人的经历与感受来看，要学就直接从矩阵力学开始学起。一旦接受了这种设定，它理解起来并不比波动力学困难；而且我觉得矩阵力学更深刻。当然我不清楚斯坦福的量子力学公开课是哪种思路，无论它用的是哪种思路想必都有其一定的合理性。
波动力学入门时要掌握的概念：波粒二象性，波函数的统计解释（这两者在初学时挺不好理解的，但是一旦接受了这种设定之后就会觉得它们是很显然的废话），态叠加原理，不确定原理，力学量的算符表示，然后就可以有薛定谔方程了。
矩阵力学：态，希尔伯特空间（好吧这其实可以算是数学内容），力学量算符（好吧这也是数学）等等。矩阵力学的抽象化程度更高，也就更数学化一点。多辨析物理量与其表象之间的联系与区别，比如说要能分辨出“波函数不是态，而是坐标表象下态矢量与基矢的内积”这样的表述是对是错。
以上这些更多的是回到数学了。因为物理实质上矩阵力学与波动力学是相通的，所以需要的物理基础也是相同的，只不过用到的顺序不一定一样罢了。
最后想说我也只是上完量子力学课没多久的小同学一名，以上所说的全都是一家之言，层次很低。回答这个问题，与其说是为了帮楼主解惑，倒不如说是为自己整理了一下思路。可能并不能真正帮到楼主，甚至还可能有些误导。还是希望楼主能多看看楼上@LePtC @bay618 的回答吧。也希望大牛能对我的回答进行指正！
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