与国考有关的小学数学题：分苹果

本文探讨的内容不仅仅是一道小学生的数学题，而且与国家公务员考试（简称“国考”）的试题有关。

 

问题的提出

我有一个与侄孙女同龄的亲戚，去年上小学四年级的时候曾经问过我一道老师布置的数学作业题：

“一些苹果，每5个一堆去数剩1个，每6个一堆去数剩2个，每7个一堆去数剩3个，请问至少有多少苹果？”

如果把这道题用数学语言“翻译”出来，就是：

“一个数被5除余1，被6除余2，被7除余3，这个数最小是多少？”

再来看看2006年国考的一道真题：

一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有(     ) 。

A.  5个     B.  6个       C.  7个      D.  8个  

不难看出，这两道题本质上是差不多的，此类问题在《数论》里称为余数问题。

 

问题的背景

余数问题的背景要追溯到一千五百多年以前。

那时候，中国民间经常玩一种叫做“隔墙听”的游戏，也就是两个人站在墙的两边，其中一人出题让另一个猜：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三，七七数之余二，问今有物几？”把它翻译成现代汉语也就是：求一个数，使这个数用3除的余数是2，用5除的余数是3，用7除的余数是2，这个数最小是多少？聪明人用心算几次，就可以知道这个数是23。

中国古代的数学家经过潜心研究，给出了这个问题的一般解法。后来明朝一个叫程大位的人把这个一般解法概括为一首歌谣：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”其意思是：用3除得的余数乘以70、用5除得的余数乘以21、用7除得的余数乘以15，再把这三个数相加，若超过105，则一直减去105，直到剩下最小的正整数为止。

于是上面的例子用此法就可以这样计算：

2*70 + 3*21 + 2*15 = 233

然后再减去两个105，便得答案23。

一直到十八世纪，伟大的德国数学家高斯在研究数论的时候提出了同余式的概念，推广了中国古代的这个算法，并将其命名为“中国余数定理”。由于这个算法最早见于《孙子算经》，所以也被称为“孙子定理”。

 

问题的求解

对没有学习过余数定理的人（包括我自己），此类问题更一般情况（任意三个互质的数作除数、且余数也各有不同）的求解方法也可以用通俗的语言作如下的讨论。不过在讨论之前要先温习一下整数除法的一个重要性质：

“在整数除法中，若被除数扩大若干倍，则余数也随之扩大相同的倍数。”

例如： 5除以4，余数是1

10除以4，余数是2  （被除数5和余数1都扩大2倍）

15除以4，余数是3  （扩大3倍）

20除以4，余数是0  （扩大4倍后余数4又可被4整除，故应视余数为0）

25除以4，余数是1  （扩大5倍后余数5再除去一个4 ，故应视余数为1）

…………

好了，现在可以书归正传了。

如果在余数问题中 ，除数是任意三个两两互质的数 ，而且余数也各有不同，则解题的思路就是“分进合击、各个击破”，而解题的关键则是分别找出三个除数对应的“同余数”。这里所谓某个除数对应的“同余数”，是指能同时被其余两个除数整除、且被第三个除数（自身）除后的余数与原题的余数相同的数中最小的那一个。举例说明如下：

 

例. 求“被3除余1、被4除余2、被5除余 4”的最小的自然数。

1. 找出每一个除数对应的“同余数”。

为了计算方便，可以先把题目所给的条件列一个表

3……1

4……2

5……4

左边的3、4、5是除数，右边的1、2、4是对应的余数；

（1）除数3对应的“同余数” 应该满足两个条件，一是可以同时被另两个除数4、5整除，而且被3（自身）除的余数是1。

先求出4、5的最小公倍数4*5 = 20，显然20可以同时被4、5整除（废话！），然后用20除以3，结果发现余数是2而不是1 ！这时，为了保证既能同时被4、5整除、又能使余数是1，只要把20扩大一倍（20*2 = 40），则余数2也随之扩大一倍变成了4，再除去一个3，所以余数还应该看作是1。这时，“同余数”的两个要求都得到了满足，也就是说，除数3对应的“同余数”是40；

上述过程还可以简化为以下步骤：

求出4、5的最小公倍数 4*5 =20；

观察求出的20除以3的余数是不是1：如果是，则20即为所求；如果不是，则将20依次乘以2、3……，直到余数是1为止。

如果从余数的角度看，显然3对应的“同余数”40除以3、4、5的余数分别为1、0、0；

（2）除数4对应的“同余数” ：

3*5=15          （另两个除数3、5的最小公倍数）

    15除以4，余3        （与原题条件“余2“不符，需要继续扩大）

    30除以4，余2        （扩大一倍后余数变成6，除去一个4，所以是余2）

从而4对应的“同余数”是15*2 = 30；

  而且4对应的“同余数”30除以3、4、5的余数分别为0、2、0；

（3）除数5对应的“同余数”：

3*4=12           （另两个除数3、4的最小公倍数）

    12除以5，余2        （与原题条件“余4“不符，需要继续扩大）

此时，只要扩大一倍，余数就可以变成4，故5对应的“同余数”是12*2 = 24，它除以3、4、5的余数分别为0、0、4 ；

2. 将以上求出的三个“同余数”相加：

40 + 30 + 24 = 94

这里的和“94”就是所有能“被3除余1、被4除余2、被5除余4”的自然数中的一个。

这其中的原理是利用了“和的整除性” ：两个数相加，如果每一个数都能被某数整除，则它们的和也能被该数整除；如果每一个数除以某数都有余数，则它们的和除以该数所得的余数是各自余数的和。

举例来说，因为

数10：“被3除余1、被4除余2”

数21：“被3除余0、被4除余1”

所以它们的和 10+21 =31 除以3的余数是原先各自余数的和 1+0 =1 ；除以4的余数是2+1 =3。

回看求三个“同余数”的过程，由于

3对应的“同余数”40除以3、4、5的余数分别为1、0、0

4对应的“同余数”30除以3、4、5的余数分别为0、2、0

5对应的“同余数”24除以3、4、5的余数分别为0、0、4

所以三个“同余数”的和94除以3、4、5的余数应该为1、2、4，与题目的要求完全相符。

3. 能“被3除余1、被4除余2、被5除余4”的自然数很多，而94并不能保证是最小的一个。这时，就要把三个除数的最小公倍数 3*4*5 =60 作为一个周期从94里减去，得

94-60 = 34

这里得到的34就是我们要求的满足条件且“最小的”自然数。

  顺便说一句，“同余数”这个词并非有关文献的叫法，而是本人为了叙述方便杜撰的，只可意会而不可缪传！

 

国考真题的解

掌握了以上的方法，现在可以求本文开头提到的国考真题的解了。

 

一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有(    )。

A.  5个       B.  6个        C.  7个        D.  8个   

解：除数9对应的“同余数” ：

        5*4= 20

20除以9，余数是2，必须扩大8倍，才可以使余数变为16，再除去一个9，相当于余数是7。故除数9对应的“同余数”为20的8倍，即160；

类似地，可以求出除数5、4对应的“同余数”分别为72、135；从而

160 + 72 +135 = 367

就是要求的数之一（而且验证无误）。

注意到三个除数的最小公倍数 9*5*4 =180 是一个周期，所以在不超过999的范围内，从367开始依次加或减若干个周期，可以得到符合题目要求的三位数是

187    367    547   727    907

故本题的正确答案应该选（A）。

 

分苹果问题的解

原题如下：

“一些苹果，每5个一堆去数剩1个，每6个一堆去数剩2个，每7个一堆去数剩3个，请问至少有多少苹果？”

这道题本来是可以用上面的方法求解的，但由于它简单而且特殊（特殊之处下文要讲到），故利用一个特殊的口诀“最小公倍作周期，余同加余，和同加和，差同减差。”就可以很方便地得到答案。下面就举例说明这四句口诀的含义和用法：

例1. 从不超过500的数中找出所有满足“被4除余1，被5除余1，被6除余1”的三位数。

此题最显著的特点就是余数相同（都余1），这就叫“余同”。计算口诀是“最小公倍作周期，余同加余”，计算步骤如下：

（1）求出除数4、5、6的最小公倍数：4*5*6 =120 ；

（2）加上余数1： 120+1 = 121，极易验证这里得到的“121”就是满足条件且最小的一个数；

（3）以121为起点、最小公倍数120为周期依次叠加，就可以找出不超过500的所有满足“被4除余1，被5除余1，被6除余1”的三位数为121 、241 、 361 、 481。

 

例2. 满足“被4除余3，被5除余2，被6除余1”的最小的三位数是多少？

此题的特点是“除数与余数的和”相同（4+3=7 ，5+2=7 ，6+1=7），这就叫“和同”。计算口诀是“最小公倍作周期，和同加和”，计算步骤如下：

（1）求出除数4、5、6的最小公倍数：4*5*6 =120 ；

（2）加上“除数与余数的和7”： 120+7 = 127，不难验证 “127”就是本题的正确答案。

（注：如果本题不是求最小的“三位数”而是求最小的“自然数”，则应该从127中减去周期120，得到的7即为所求。）

 

例3. 求“被4除余1，被5除余2，被6除余3”的最小的自然数。

此题的特点是“除数与余数的差”相同（4-1=3 ，5-2=3 ，6-3=3），这就叫“差同”。计算口诀是“最小公倍作周期，差同减差”，计算步骤如下：

（1）求出除数4、5、6的最小公倍数：4*5*6 =120 ；

（2）减去“除数与余数的差3”： 120-3 = 117，易知“117”就是本题的正确答案。

 

弄懂了以上四句口诀的含义和用法，再回过头看看本文开头的“分苹果”问题，显然属于“差同减差”的题型，仿照例3，简单的口算就可以得到正确的答案是5*6*7 - 4 =206。

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