郑毓信 《走进数学思维》

“探究高效课堂 构筑生态教学”全国小学数学名家名师教学观摩会

 

 专题报告《走进数学思维》  郑毓信  南京大学哲学系教授博士生导师

 

   郑老以极富魅力智慧的讲座传递着最前沿的学科知识，数学文化和人文素养。郑老的报告用精辟深邃的理论和浅显易懂的语言，深入浅出的引发了我们对“走进数学思维”这一主题的认识和思考。

一、从数学抽象谈起

郑老先给我们呈现了几个发人深省的案例，摘录其一。

（父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？”

子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从来不用橘子。 ）

分析与思考：去情境化

学会数学思维的首要涵义是学会数学抽象（模式化）。

数学是模式的科学。这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。帮助学生学会数学抽象的关键是应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。（“去情境化”）数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。模式化的一个重要手段是引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。

 教师鼓励学生们用“实验”的方法去解决问题，学生拿出了笔和纸画搭配，如果一直都这样画下去，这不是数学，数学应去情境化。

去情境化的重要手段引入符号。

“数学化”主要是一个“从无到有、从粗糙到精确”的过程。

二、数学中的分类

分类与思考：数学中分类与生活中分类不同。什么是数学中的分类？数学中又为什么要进行分类？

分类：1、应具有明确的目的性。归类是数学抽象的直接基础；不同类别的区分：由简到繁、由特殊到一般地去开展研究。2、分类问题也需要优化。（用数学家的眼光去看待世界、分析问题、解决问题。）学会数学思维的又一重要内涵：思维的必要优化。

三、数学中的类比

类比常常被列为最基本的一种数学思维。也就是说，在数学中我们常常可以通过两类不同对象的比较获得一定的联想，包括由已知的结论引出关于未知对象的新的猜测，以及由已有的知识获得关于如何求解所面临的新问题的有益启示等。尽管在小学数学教学中我们也可找到类比的诸多应用，但同时又应清楚地看到这样一点：相对于简单的比较与分类而言，类比应当说代表了更为复杂的一种思维形式。因为作为类比的对象必定是两类不同的对象，尽管在类比时也用到了比较，但我们的目的是“触类旁通”，即如何能够通过找出两类不同对象之间的类似之处从而引出一定的联想，而联想的核心就在于“求同存异”。“求同”是指，为了应用类比，我们并不需要相关对象在所有各个方面都彼此相似，而只要求两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的；所谓的“存异”则是指新的猜测的产生并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别是在由已知事实去引出新的猜测时，我们必须注意分析两者之间所存在的差异，并依据对象的具体情况作出适当的调整。

正因为类比必须以一定的知识作为联想的基础，而且要用到“求同存异”这样一种相当复杂的思维形式，因此，要求小学生，特别是低年级小学生掌握这样一种思维方式是十分困难的；毋宁说，我们应首先要求学生较好地掌握简单的比较与分类。

数学思维的合理发展：归类→分类→类比（联想），成功应用类比联想的关键是求同存异。为了应用类比，我们并不需要相关的对象在所有各个方面都完全一样，而只要求在这两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的，这就是所谓“求同”，也即如何能在抽象分析的基础上找出两个对象的“类似之处”，所谓的“存异”则是指新的猜测的产生并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别是，在由已知事实去引出新的猜测时，我们必须注意分析两者之间所存在的差异。

另外，以下的真实故事显然也就表明：与所谓的“集合思想”相比，要求小学生掌握分类的思想可能更为恰当。

四、数学思维的学习

作为一线数学教师我们更应加强对于数学方法论(更为一般地说，就是数学思维)的学习。在数学思维的学习中，应抓住两套主线：①、问题解决与问题提出。②、概念的生成、分析与组织。应特别强调这样一点：就所说的学习而言，关键不在于“求全”，而是“求用”。

五、数学思维的教学

我们应当从事数学思维的教学，前提：应当更为清楚地界定，就小学数学的各个学习阶段而言究竟什么是相关的数学思维；相对于专门性的思维教学而言，我们应当更加强调数学思想的渗透，即用数学思想的分析指导、带动具体知识内容的教学。

还是来看一个案例吧。

【案例】“除非它们都能站起来！”

   这一故事发生在20世纪60年代，当时“新数运动”作为风靡全球的一次数学教育改革运动正处于高潮之中，而其核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教 育作出改造。由于集合的概念在现代数学中占据了特别重要的位置，因此，下述情况的出现就不足为奇了。

一个数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她今天学到了什么。女儿高兴地回答道：“我们今天学了'集合’。”数学家觉得这样一个高度抽象的概念，对于女儿这样年龄的孩子来说实在太难理解了，因此就关切地问道：“你懂吗?”女儿肯定地回答道：“懂！一点也不难。”“这么抽象的概念会这样容易理解吗?”听了女儿的回答，作为数学家的父亲仍然放心不下，因此又追问道：“你们的老师是怎么教你们的?”女儿回答道：“老师先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合、黑人孩子的 集合……最后，教师问全班：'大家是否都懂了?’她得到了肯定的答复。”

显然，这个教师所采用的教学方法并没有什么问题，甚至可以说相当不错。因此，父亲就决定用以下的问题作为最后的检验：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合?”女儿迟疑了一会，最终作出了这样的回答：“不行！除非它们都能站起来！”

很天真的孩子，这就是她的理解！我们是否会在发笑过后引发一些思考？

用思维分析带动具体知识内容的教学的关键应该是方法论的重建，从而真正实现化神奇为平凡、化难为易。我们应该使数学教学真正讲活、讲懂、讲深；使数学思维真正成为可以理解的、可以学到手的、和可以加以推广应用的。

“讲活”，教师应当通过自己的教学活动向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识；“讲懂”，教师应当帮助学生真正理解有关的教学内容，而不是囫囵吞枣，死记硬背；“讲深”，教师不仅应帮助学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生深入领会并逐渐掌握内在的思维方法。