【数学】三角函数性质

本文介绍三角函数的性质。

从前文的几何定义中能推导出很多三角函数的性质。

例如正弦函数、正切函数、余切函数和余割函数是奇函数，而余弦函数和正割函数是偶函数。

正弦和余弦函数的图像形状一样（见下图），可以看作是沿着坐标横轴平移得到的两组函数。正弦和余弦函数关于x=π/4轴对称。正切函数和余切函数、正割函数和余割函数也分别如此。

一、三角恒等式

不同的三角函数之间有很多对任意的角度取值都成立的等式，称为三角恒等式。

最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方必定会是1。这能从斜边为1的直角三角形应用毕氏定理来得出。利用符号形式表示的话，毕达哥拉斯恒等式为：

由此可以推导出：

另一个关键联系是和差公式，它能根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和与差的正弦和余弦。它们可以利用几何的方法使用托勒密的论证方法来推导出来；还可以利用代数方法使用欧拉公式来检验。

当两角相同，和角公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式（或倍角公式）：

这些等式还可以用来推导积化和差恒等式，以前曾经利用它把两数的积转换成两数的和而像对数那样使运算更快。（用制好的三角函数表）

此外，还有半角公式：

二、微积分

三角函数的积分和导数可参见导数表、积分表和三角函数积分表。以下是六种基本三角函数的导数和积分。

三、三角函数的特殊值

特殊角度可用毕氏定理（即毕氏定理）人手轻易计出三角函数的值。π/60弧度（3°）的任何整数倍之正弦、余弦和正切都可人手计算。以下是常用的特殊函数值。

以下是常用的特殊函数值：

注：±∞有时会写作无定义（不存在）。

四、相关定理

三角函数，正如其名，在三角学十分重要。三角学研究发现了许多利用三角函数来刻画三角形、圆形或多边形的定理。

正弦定理：

正弦定理声称对于边长为a、b和c而相应角为A、B和C的三角形，有：

其中 R 是三角形的外接圆半径。正弦定理用于计算已知两角和一边时三角形的未知边长，是三角测量中常见情况，前述为数学常用。至于物理学应用为三分力且合力为0的情况。

余弦定理：

余弦定理（也叫余弦公式）是托勒密定理的延伸：

也可表示为：

余弦定理用于确定三角形已知两边和一角时未知的值。

正切定理：

余切定理：

其中，

为三角形的内切圆半径，

为三角形半周长。

五、周期函数

三角函数在物理也重要，如用正弦和余弦函数描述简谐运动，它描述了很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。

正弦和余弦函数是圆周运动的一维投影。

---

2023/11/05