平行四边形的判定（二）
-----三角形的中位线
忻州师院附中 何艳波
一、内容和内容解析
1. 内容
三角形中位线的定义，性质的探究和应用。
2.内容解析
《三角形的中位线》是“平行四边形的判定”的第2课时的教学内容，教材安排一个学时完成。本节教材是在学生学完了三角形、四边形内容之后,作为三角形和四边形知识的应用和深化所引出的一个重要性质定理，它揭示了线与线之间的位置关系，线段与线段间的数量关系，对进一步学习非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到.
三角形中位线的定义属于概念性的知识，教材中直接告知。对于三角形中位线性质的探究，相当于平行四边形判定的应用，需要构造平行四边形来解决，经历了感知、猜想、证明等过程，得出了三角形中位线和第三边之间的数量关系和位置关系，体现了四边形和三角形之间的相互转化。
鉴于以上分析，本节课的教学重点是：经历三角形中位线的性质定理的探究过程，并能利用它解决简单的问题。
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解三角形的中位线的概念，。
（2）经历探索、猜想、证明的过程，掌握三角形中位线性质，进一步发展推理论证的能力。
（3）能正确应用三角形中位线定理进行有关的计算和证明。
2. 目标解析
目标（1）的具体要求是：知道三角形中位线的定义，区别中位线和中线。
目标（2）是指在三角形中位线性质的探究过程中，让学生体会三角形和四边形之间的相互转化；知道观察、度量、实验、猜想、证明是几何研究的基本活动，体会“用合情推理发现结论，用演绎推理证明结论”这一几何研究的基本思考方式。
目标（3）的具体要求是：能利用三角形的中位线的性质进行基本的计算和证明；初步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路的方法，体会数学转化的思想。
三、教学问题诊断
小学阶段，学生已经对平行四边形的有关性质有所了解，前面又对平行四边形的判定进行了系统学习，让学生感受到了四边形向三角形转化的思想，同时学生对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握。对于本节课三角形中位线定义的理解及完成大部分练习也不是难事，但在本节学习中学生容易出现以下问题：一是如何证明线段的倍分问题；二是应用中位线性质定理时怎样添加辅助线的问题.
基于以上分析，本节课的教学难点是：训练推理的能力和辅助线的添加方法。
四、教学过程设计
1、情境引入
小诗引入：
春风和煦 外出春游 突发奇想 想测池塘
如图，测量一个池塘的宽AB,你能满足老师的好奇心吗？
2、问题探究
活动一：测量池塘的宽
方法一：如图①，在池塘外找一点C,使得C能直接到达点A和点B,连接AC并延长到点E,使得CE=AC,同理得到CD,连接DE,得到全等三角形，量出DE的长度就求出了AB的长度。
方法二：如图②，在池塘外找一点C,使得C能直接到达点A，连接AC,过点B做BC⊥AC,量出AC和BC的长度，根据勾股定理就能计算出AB的长度。
方法三：如图③，在池塘外找一点C,使得C能直接到达点A，连接AC,过点B做BD∥AC, 且BD=AC,量出CD的长度，根据平行四边形的性质就能求出AB的长度。
图① 图② 图③
归纳：求线段的长度最终转化为三角形和平行四边形来解决，平行四边形的问题又通过转化为三角形来解决。
设计意图：通过对问题的逐层分析，把解决问题方案的范围逐渐缩小，最终确定一个合理的方案。能培养学生严密推理的能力和良好的思维习惯。
1、定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 如图，线段DE是连接△ABC两边的中点D、E所得的线段，称此线段DE为△ABC的中位线。
思考 ：（1）一个三角形有几条中位线？你能画出来吗？
（2）画出三角形的一条中线和一条中位线，并说出它们的不同。
设计意图：这两个概念容易混淆，通过画图比较，巩固学生对中位线概念的理解，培养学生严谨细致的学习习惯。
活动三：探索三角形中位线的性质
（鼓励学生说出自己的猜想，并说出猜想的方法）
方法一：度量法（如图）
分别量出DE和BC的长度，发现DE=BC；
分别量出∠ADE和∠ABC的度数，发现∠ADE=∠ABC，说明DE∥BC。
方法二：折纸法（如图）
取一个三角形硬纸板，将AB、AC对折,分别找见中点D、E,剪下DE,将BC对折后和DE比较，二者重合，再将∠ADE和∠ABC比较，发现二者重合，说明DE=BC且DE∥BC。
结论：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
归纳猜想方法：①直观感觉 ②度量 ③折叠
已知：如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点。
求证：DE∥BC且DE=BC．
分析：所证明的结论既有位置关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．
证法三：作如右图所示的辅助线，即过E点作AB的平行线交BC于N，
三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边。
几何语言
∵DE是△ABC的中位线
（或AD=BD,AE=CE或D为AB的中点，E为AC的中点）
∴DE∥BC,
设计意图：先由直观的方法感知DE与BC在位置与数量上的关系，再用说理的方式来证这一关系，此举既满足了学生探求新知的欲望，获得成功的体验，又刺激学生进行更深入的探求。
3、小结
本节课你有什么收获？
1、三角形中位线是三角形中重要的线段，它与三角形中线不同。
2、三角形的中位线定理是三角形的一个重要性质定理。
3、在这节课中我们一起经过实验、探索，发现了三角形中位线定理，学会了一种很重要的探究问题的方法。
4、布置作业
1、教材第49页练习1、2、3.
五、目标检测设计
1、如图：在△ABC中，DE是中位线；
（2）若BC＝8cm，则DE＝ cm.
2、已知三角形三边分别为6、8、10，连接各边中点所成三角形的周长为 。
拓展：△DEF为中点三角形，面积为原三角形的四分之一，周长为原三角形的一半。
3、首尾呼应
方法：在池塘外找一点C,可以直接到达A、B,
找到AC、BC的中点，量出DE的长度，就求出了
AB的长度。
六、课后反思
三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线是三角形重要的性质定理，它是已学过的平行线、相似三角形等知识内容的应用和深化，也为今后进一步学习其他相关的几何知识奠定基础。这个定理既得到线段之间的位置关系，又得到线段之间的数量关系，所以在教学设计中，一定要重视学生的探究发现过程，让学生既能从操作上认识，也能进行严格的逻辑证明。
本节课的优点是：
1、在学习三角形中位线性质时，先由直观的方法感知DE与BC的位置关系与数量关系，再用说理的方式来证这一关系，既满足了学生探求新知的欲望，获得成功的体验，又刺激学生进行更深入的探索。参与式教学特别注重发挥学生的主体性,让学生充分参与教学活动。
2、用精彩的问题设置吸引学生。“思维总是从提出问题开始的”，课堂提问是启发学生积极思维的重要手段，教师要善于运用富有吸引力的提问激发学生的兴趣。如：我在讲解三角形中位线的时候，大胆的提出把三角形沿中位线DE剪一刀，再动手操作拼一拼得到平行四边形，从而得到三角形中位线结论的另一证明方法。
本节中需要改进的地方：在学生画出△ABC的三条中位线DE，EF，DF后，应该设计一道开放性问题，让学生探讨，发挥小组合作的力量，看还能得出那些结论，这样能够让学生加深对本节课所学知识的理解，还能巩固复习所学旧知识，将新旧知识融为一体，达到知识系统化、专题化，学生解题时就具有灵活性、可操作性，让孩子们对每一类问题形成解题的技能，总结提升解题的方法。我们应该把学生最该处理的问题，进行重点的剖析挖掘，争取让孩子们通过这一个题的分析与挖掘，达到会做这一类题举行反三触类旁通。
教 学 设 计
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