初中数学：因式分解知识点精析与应用

极客数学帮整理初中数学：因式分解知识点精析与应用。

1.因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.

因式分解是多项式的一种变形，就是把多项式转化成乘积的形式，它与整式乘法正好是相反的变形.如:

从上图可以看出，整式乘积和与之对应的多项式保持相等关系，但方向不同，意义就不一样.且不能说因式分解是整式乘法的逆运算，因为整式乘法的逆运算是整式的除法.

2.因式分解的结果必须是每一个因式在有理数范围内不能再分解为止如：(1)m⁵-m=m(m⁴-1)；

(2)m⁵-m=m(m²+1)(m²-1)；

(3)m⁵-m=m(m-1)(m+1)(m²+1).

应用整式乘法公式检查(1)、(2)、(3)均成立，但(3)才是把多项式m⁵-m分解因式的结果.

3.最终分解结果仅相差一个数字因数的，可看作分解结果相同如：

(1)4x²-1=(2x+1)(2x-1)；

(2)4x²-1=4（x+½）(x-½)；

由此可知，因式分解结果唯一，而对4x²-1分解因式习惯上写成(1)的形式.

4.因式分解的过程是恒等变形，不能随意把多项式改变原来的大小

如：x²+（7/4）x+（5/8）=8x²+14x+5=(2x+1)(4x+5)就不是恒等变形，故不能

把它们看作因式分解.

5.提公因式法

多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.

6.提公因式法分解因式的实质是逆用乘法分配律.

7.多项式的公因式可以是具体的数字，也可以是单项式，也可以是多项式.

当问题中出现的因式的表面形式并不相同时，要设法结合相关知识进行转化，使之成为完全相同的因式时再提取公因式，否则易出现符号上的错误.

8.由分解因式与整式乘法的关系可看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作运用公式法.

(1)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)

特点:①公式左边的多项式形式上是二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或某式的平方形式；

③分解的结果是这两个数或两个式子的和与他们差的积，即分解为两个一

次二项式的积；

④公式中a，b可以表示单独的数或字母，也可以表示一个单项式或多项式.

(2)完全平方公式；a²±2ab+b²=(a±b)²

其特点是：①左边相当于一个二次三项式；②首末两项符号为正且能写成某数或某式的完全平方公式；③中间一项是这两项两个数或两个式子的积的2倍，符号可正可负； eq \o\ac(○,4)4公式右边是这两个数或式子的和或差的完全平方，其和或差与左边中间项的符号一致； eq \o\ac(○,5)5公式中的a，b可以是单独的数或单独的字母或其他的整式.

解題方法指导

[例1]多項式-3xy+2laxy-18a²xy中的公因式是

分析：多項式是由若干个单項式和得到的，所以多項式中的公因式即是指其中的几个单項式的公因式.

解:∵-3xy，2laxy，-18a²xy的公因式是-3xy，

∴这个多項式的公因式是-3xy.

说明：求几个单項式的公因式吋，一般公因式的系数取正号，但当多項式中的首項系数是负号，或多数項系数是负号时，可把公因式的系数定为负号.

[例2]巳知关于x的二次三項式2x2+mx+n因式分解的結果是(2x-1)(x+¼)，求m，n的值.

分析：因内整式的乘法与因式分解是互内逆变形，由題意可知2x²+mx+n

=(2x-1)(x+¼)，反过来，则应有(2x-1)(x+¼)=2x2+mx+n，根据恒等变形的性质可确定m，n的値.

解：由題意，得(2x-1)(x+¼)=2x²+mx+n

即2x²-½x-¼=2x²+mx+n

∴m=-½，n=-¼.

说明：本题是灵活应用因式分解与整式乘法关系的体現.

[例3]把下列各式分解因式:

(1)9x²-6xy+3xz；(2)-10x²y-5xy²+15xy；

(3)4a²+6ab+2a；(4)-8a^mb³+12a^m+1b²+16a^m+2b；

解(1)9x²-6xy+3xz=3x·3x-3x·2y+3x·z=3x(3x-2y+z)；

(2)-10x²y-5xy²+15xy=-(10x²y+5xy²-15xy)=-(5xy·2x+5xy·y-5xy·3)=-5xy(2x+y-3)；

(3)4a²+6ab+2a=2a·2a+2a·3b+2a·1=2a(2a+3b+1)；

(4)-8a^mb³+12a^m+1b²+16a^m+2b；

=-(8a^mb³-12a^m+1b²-16a^m+2b)

=-(4a^mb·2b²-4a^mb·3ab-4a^mb·4a²)

=-4a^mb(2b²-3ab-4a²).

说明①本例这种题型是因式分解最基本、最简单的一种题型，解这类题型第一步是找出公因式；第二步是提公因式.

②当多项式的第一项是负数时，一般先提出“-”号，使括号内的第一项的系数为正数，在提出“-”号时应注意括号内的各项都要变号，这里往往是容易出错的地方，请多加注意.

③当多项式中的某一项恰好是各项的公因式时，很容易错误地认为此项提公因式后就没有了.从而漏掉一项“1”.