我们在学习数学的时候,常常迷失在具体的细节当中,而忽略了本质,当然我不是在说技术细节不重要,任何有价值的数学论文都充斥着大量的技术细节,任何严肃想要去探讨数学问题的人,都需要去学习掌握这些细节,不过这应该不是我要做的事。我一般给初学者的建议是先学会如何使用这些定理,当你决定真的在数学这条路上走下去的时候,再来研读这些细节。那么今天这期我们就来谈谈这个逼近定理的想法动机和本质。
定理的想法很直观,我们最开始在学习连续函数的时候,接触的第一个例子就是多项式函数,因为它足够简单。于是很自然的想法就会诞生,我们可不可以用足够简单的多项式函数来代替连续函数,当然我们也很担心,我们还希望这种代替的误差不会太大,要不然就会失真,最好是能够任意逼近。
19世纪德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass)提出了这个定理,他当时的动机主要来自以下几个方面:
函数逼近的实用性:函数逼近是一直是数学中一个重要的问题,通过将一个复杂的函数逼近为一个简单的多项式函数,可以简化计算和分析过程。魏尔斯特拉斯希望找到一种方法,能够用多项式函数来逼近连续函数,以提供更便利的计算和研究。
序列逼近的研究:魏尔斯特拉斯是序列逼近的先驱之一。他研究了幂级数的性质和逼近性质,并致力于发展序列逼近的理论。逼近定理是他在这一领域的重要成果之一。
连续函数的逼近问题:魏尔斯特拉斯对于连续函数的逼近问题感兴趣。他想要证明,对于任意一个连续函数,是否存在一组多项式函数可以以任意精度逼近它。这种连续函数的逼近问题在当时是一个悬而未决的问题,魏尔斯特拉斯希望能够给出一个肯定的答案。
当然发展到今天,逼近定理再也不是它当初那个青涩的模样了,我们赋范空间上来叙述,这里我们只会描述一个大概轮廓,然而看几个逼近定理的应用。
我们通常会用C[a,b]这样的记号,表示定义在闭区间[a,b]上的连续函数,那么这样的函数构成的集合,上面是有一定代数结构的,首先它是一个向量空间(当然我们会函数的加法和数乘),同时它也是一个交换环,换言之它是一个交换代数。接着我们会在上面定义所谓的无穷范数。即:
此时我们的C[a,b]加上我们刚刚定义的无穷范数,就成为赋范线性空间,在这样的空间上我们有很自然的距离结构,我们只需定义:
我们很容易验证我们上面定义的d(f,g)满足距离的三条公理,因而成为一个度量空间。
不仅如此,在这样的距离下,任意的柯西列实数完备性——柯西列介绍,都收敛于一个连续的函数(即一致收敛),所以这样的空间是一个完备的空间,即Banch空间。
有了上面的代数语言的叙述,我们就可以在抽象空间中发展逼近定理,即Stone-Weierstrass定理:
联系客服