高中向量内容小结和分析

向量在高中数学中最重要的是作为工具的作用。高考中，向量难度一般不大，应用广泛，既可以考纯向量，在高考中常考一个5分的小题；向量也可以与三角、解三角形、平面几何、立体几何、圆锥曲线等知识结合出题。既可以考小题，也可以考大题。

向量内容简而言之为：三三四五，既三种运算形式；三个标志性成果；四个运算；五种应用。

（一）三种运算形式

向量的运算有三种：几何运算，代数运算和坐标运算。

最简单的是坐标运算；第一个难点是：几何运算，尤其是平面向量的基本定理，主要是利用向量加法和减法及数乘向量的几何意义，将平面上任一向量用一组基底向量表示；第二个难点是几何运算和代数运算的综合运用。

（二）向量的三个标志性成果

向量的三个标志性成果为：平行，垂直和夹角。

向量平行的充要条件是坐标成比例。

向量垂直的充要条件是数量积等于零，既横坐标之积与纵坐标之积的和为零。

两向量的夹角的余弦等于两向量的数量积与两向量的模的积的比。

以上三种运算是高考中纯向量题中多次考试的内容。

（三）向量的四种运算

四种运算：向量的加法、向量的减法、数乘向量和向量的数量积。前三种运算结果仍为向量，向量的数量积为实数。

向量的加法、减法和数乘向量的坐标运算就是坐标相加、减和数乘；向量的数量积的代数运算是两向量的模与其夹角的余弦之积，坐标运算是两向量的横坐标之积与纵坐标之积的和。

向量的数量积的代数运算应用较多，常见题型有求向量多项式的乘积及有关求模的问题。此类题在高考中反复考查。务必熟练掌握。

（四）向量的五种应用

应用一：向量与三角

见例14，例15，用数量积的定义，占一分，最终变成三角函数的问题。

应用二：向量与解三角形

三角形中出现向量运算或表述。

应用三：向量与平面几何

可用向量证明平面几何中的平行和垂直问题，也可求夹角，见资料上的例13。

应用四：向量与立体几何

主要出现在立体几何大题的第二问。求三种空间角。详情见3月15日本人的微头条。

应用五：向量与圆锥曲线

还是将向量作工具穿插在圆锥曲线的大题或者小题中。

春季开学，高一一开始就学向量，本内容可供高中各年级的同学参考复习。