分析力学专题——守恒流与Noether定理

首先在《分析力学专题——Lagrangian和Hamiltonian，Hamilton-Jacobi 理论》中，我们建立了基本的 Lagrange 量和 Hamilton 量，然后在《分析力学专题——四维经典场论》中，我们用四维经典场论来重新构建经典力学，本文在前面的基础上，来介绍守恒流与 Noether 定理，希望读者能喜欢。

Lagrange 密度( Lagrange 量)具有对称性，即对于某种场的变换具有不变性，下面来看一个最简单的例子，如果一个等边三角形以几何中心为旋转中心旋转 ，则它还是原来的形状，此时称等边三角形具有旋转不变性，这个不变性针是指以几何中心为旋转中心旋转 后保持某种性质的不变，同理对于轴对称也是一种对称不变性。因此对于一个Lagrange 密度，怎样变换能体现这种对称性是本文讨论的一个很重要的问题，毕竟 Lagrange 密度本身就是在描述一个物理场，如果这个场具有某种对称性的话，就能够直接知道体系的某种守恒量。

假设有一个变换 ，使得 Lagrange 密度 有变分，即得到

当 Lagrange 密度 满足 Lagrange 方程时，sh上边的式子右边第二项为 ，而根据指标判断， 是标量函数，且通量密度的变化其实就是散度，即有 ，因此可以认为 Lagrange 密度的变化可以表示为某个流 的散度，由于可以将 在坐标基底下展开，此时对于散度而言，散度为正，即所谓的流向空间外流出，故而散度和 展开式异号，即得到

同理根据指标，把上式括号里的量定义成一个新的流 ，因此有

这个新的流 的散度为 ，称 是一个守恒流。如果一开始假设场有一个变化，而有一个量不会随着场的那个变化而变化，但这个量对 具有依赖性，接下来就来探讨这个问题。

根据本文一开始对 定义，则有变换 ，而 的物理意义为当坐标系不发生改变时场的变化，即在旧坐标系 的视角下场的变化，以及在新坐标系 的视角下的场变化和坐标的变化，因此新视角场的变化为 和坐标系的变化 ，其中 和 并不是同一个量，毕竟 是假定坐标系固定时场发生的变化，包括场本身的变化和坐标系变化引起的变化，而 是新坐标系视角下场发生的变化，即场本身的变化且与坐标系改变无关的变化， 是旧场。现在设 ，其中根据 则可以推出 ，接下来考虑 的展开式，并将变分项展开在任意坐标系 上 ，故这一项的坐标系可以自由选取，于是不妨取 ， 使得 ，然后就有

因此有

然后将(2)式的代入(1)中得到

又由于 ，其中 是 kronecker 符号 ，当 时， ，当 时， ，最终得到了守恒流的表达式

最后就可以给出著名的 Noether 定理，即当场存在变换 时，系统具有守恒流 。

未完待续，敬请期待……