12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案： 已知数列其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是 ( )
A．
B．
C．
D．
正确答案为A.
分析与解分段考虑数列
该数列的前
项的和为
要使得
，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，也即所以，最小的，此时，对应最小的满足条件的
16．如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的等边三角形 的中心为 ． 为圆 上的点， 分别是以 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 为折痕折起 ，使得 重合，得到三棱锥．当 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为_______．
分析与解连接 ，交 于 ，如图
设 ，则 ，
，
．所以
当时取等号．
20．已知椭圆
，四点 、、
、
中恰有三点在椭圆 上．
(1)求 的方程；
(2)设直线 不经过 点且与 相交于 两点．若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明： 过定点．
分析与解(1)根据椭圆的对称性，可知 在椭圆 上，所以椭圆方程为
(2)将坐标系向上平移一个单位，如图
椭圆方程化为
即
设直线 对应的直线 为 ，则化齐次联立，得
整理得
结合两直线斜率之和为 ，得 即 所以直线 恒过点 ，在原坐标系中，直线 过点 ．
21．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求的取值范围．
分析与解(1)的导函数为
当时，；
当时，在区间
上有，在区间
上有．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在
上单调递减，在
上单调递增．
(2)令，即，所以有
于是函数有两个零点，即与
的图象有两个交点．
的导函数为
当时，；当时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，且在处取得最大．
当时，与至多有一个零点，不符合题意；
当时，由于当时，，而当时，是单调递增，所以与至多有一个交点，不符合题意；
当时，一方面，由于且在上单调递增，所以与在上有且仅有一个交点．
另一方面，取
，
所以在
上，有
且在区间
上单调递减，于是与在区间
上有且仅有一个交点．
综上，当时，函数有两个零点．
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