如图,在平面直角坐标系
中,点
,直线
,设圆的半径为
,圆心在
上.
(Ⅰ)若圆心也在直线
上,过点
作圆的切线,求切线的方程;
(Ⅱ)若圆上存在点
,使
,求圆心的横坐标的取值范围.
解析:
试题分析:
(1)由题意分析可知,圆心C既在直线
上,又在直线
上,所以C为两条直线的交点,由
解得C(3,2),所以圆C的方程为
,过点A作圆C的切线,显然切线的斜率存在,设为k,则切线方程为
,由于直线与圆C相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即
,即
,
,解得
或
,所以所求切线方程为
或
;(2)设圆心C(a,2a-4),则圆C的方程为
,设圆C上点M(x,y),根据,有
,整理得到点M(x,y)的轨迹方程为
,设此方程为圆D,则点M既在圆C上,又在圆D上, 所以转化为圆C与圆D有交点,根据圆与圆的位置关系有:
,
,即可求出的取值范围。
试题解析:(1)由
得圆心C为(3,2),∵圆的半径为
∴圆的方程为:
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为
,即
∴
∴
∴
∴
或者
∴所求圆C的切线方程为: 或者
即或者
(2)解:∵圆的圆心在在直线上,所以,设圆心C为(a,2a-4)
则圆的方程为:
又∵
∴设M为(x,y)则
整理得:
设为圆D
∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即:圆C和圆D有交点
∴ 由
得
由
得
终上所述, 的取值范围为:
答案:(1)或者;(2)
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