在上节中我们学到了有关定积分的概念及六大性质，今天我们学习有关定积分的基本公式，举个简单的列子，如果被积函数是一个二次幂函数f(x)=x^2，但是直接按定义来计算它的定积分已经不是很容易的事。如果被积函数是其他复杂的函数，其困难就更大了，因此我们必须去寻求计算定积分的新方法。
首先我们看下在实际生活中存在哪些定积分呢？下面先从实际问题中去寻找解决问题的线索。为此，我们对变速直线运动中遇到的位置函数s(t)及速度函数v(t)之间的联系作进一步研究。
一.变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
有一物体在一直线上运动。在这直线上取定原点、正向及长度单位，使它成一数轴。设时刻t时物体所在位置为s(t),速度为v(t)(为了讨论方便起见，可以设v(t)≥0)。
从第一讲知道：物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可以用速度函数v(t)在[T1,T2]上的定积分
∫(积分上限T2,积分下限T1)v(t)dt
来表达;另一方面，这段路程又可以通过位置函数s(t)在区间[T1,T2]上的增量
s(T2)-s(T1)
来表达。由此可见，位置函数s(t)与速度函数v(t)之间有如下关系:
∫v(t)dt(上限T2，下限T1)=s(T2)-s(T1) (1)
因为s'(t)=v(t)，即位置函数s(t)是速度函数v(t)的原函数，所以关系式(1)表示，速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分等于v(t)的原函数s(t)在区间[T1,T2]上的增量
s(T2)-s(T1)
上述从变速直线运动功能的路程这个特殊问题中得出来的关系，在一定条件下具有普遍性。事实上，我们将在第三节中证明，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么，f(x)在区间[a,b]上的定积分就等于f(x)的原函数(设为F(x))在区间[a,b]上的增量
F(b)-F(a)
二.积分上限的函数及其导数
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上一点。我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分
∫f(x)dx(上限x,下限a)
首先，由于f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此这个定积分存在。这里，x既表示定积分的上限，又表示积分变量。因为定积分与积分变量的记法无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，列如用t表示，则上面的定积分可以写成
∫f(t)dt(上限t,下限a)
如果上限x在区间[a,b]上任意变动，那么对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x):
φ(x)=∫f(t)dt(上限t,下限a) (b≥x≥a)
这个函数φ(x)具有下面定理1所指出的重要性质。
证：若x∈(a,b)，设x获得增量△x，其绝对值足够地小，使得x+△x∈(a,b),则φ(x)如图2在x+△x处的函数值为
图2
再应用积分中值定理，即有等式 △φ=f(c)△x
这里，c在x与x+△x之间，把上式两端各除以△x，得到函数增量与自变量增量的比值
△φ/△x=f(c)
由于假设f(x)在[a,b]上连续，而△x→0时，c→x,因此当△x→0时，limf(c)=f(x)。于是，令△x→0对上式两端取极限时，左端的极限也应该存在且等于f(x)。这就是说，函数φ(x)的导数存在，并且
φ'(x)=f(x)
若x=a,取△x＞0，则同理可证φ'(+a)=f(a);若x=b,取△x＜0，则同理可证φ'(-b)=f(b)
定理1证毕，这个定理指出了一个重要结论：连续函数f(x)取变上限x的定积分然后求导，其结果还原为f(x)本身，联想到原函数的定义，就可以从定理1推知φ(x)是连续函数f(x)的一个原函数。因此，我们引出如下的原函数的存在定理
就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在，另一方面初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分。
三.牛顿-莱布尼茨公式
这就是著名的也是在求定积分不可或缺的牛顿-莱布尼茨公式，接下来次公式有如下推广
注意：在在这里强调两点：第一，根据定义计算定积分是很困难的，牛顿-莱布尼茨公式把求定积分化为求原函数的该变量，从而为连续函数的定积分来计算提供了一种简捷的方法；第二，变上限积分定理5.1-(2)推论中，表明φ(x)为f(x)的原函数，这说明连续函数的原函数一定存在。
这里有两个列题大家练习下，可以对定积分的性质及定义有着更加具体的理解
分析：在区间[-1,√3]连续，先求出原函数再套用定积分公式就可以了，再看下面这个题
分析：能否正确理解定积分的性质，这道题目你做对了吗？不得不说，小编在做这一题的时候答案也是π/2.当时拿到题目直接就做了，也没想很多，而且做完之后还自我感觉良好，最后错了之后还计算了好多次，仍然得到的答案是π/2，一定要注意在arctan1/x在x=0不连续，且x=0不是arctan1/x的可去间断点，从而arctan1/x不是d(arctan1/x)/dx在区间[-1,1]上的一个原函数。这就是对于定积分的计算的前提条件-牛顿莱布尼茨公式(满足的两个条件)
在使用牛顿-莱布尼茨公式前需看好题目是否满足这两个条件：1.f(x)在[a,b]上连续；2.F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
定积分的基本公式到这里就结束了，讲解的比较细致，希望大家认真的看下去，如有不明白的或者小编出错的可以随时在下方留言，小编看到会第一时间回复，整理不易，讲解不易，多多收藏并分享下，感谢。
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