上节课我们讲解了高阶导数及n阶导数的求法，一共有4求法分别是归纳法、利用简单的初等函数的n阶导数公式、分解法、用莱布尼兹法则求乘积的n阶导数。我们学习了整整第二章微分学的知识，但是却有不知道能应用在什么地方，那学了又有什么用？其实不然，在我们日常生活应用的很多，列如
1.在工程问题中，经常会遇到一些复杂的公式，如果直接用这些公式进行计算，那是很费时费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式用简单的近似公式来代替。
我们前面说过，如果y=f(x)在点xo处的导数f'(x)≠0且l△xl很小时，我们有△y≈dy=f'(xo)△x
这个式子也可以写成△y=f'(xo+△x)-f(xo)≈f'(xo)△x 或f(xo+△x)≈f(xo)+f'(xo)△x在式子中令x=xo+△x，即△x=x-xo,那么式子可改写成f(x)≈f(xo)+f'(xo)(x-xo)
这种近似计算的实质及时用x的线性函数f(xo)+f'(xo)(x-xo)来近似表达函数f(x)，从导数的几何意义可知，这也就是用曲线y=f(x)在点(xo,f(xo))处的切线来近似代替该曲线（就切点邻近部分说）
列题：有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定位0.01cm，估计一下每只球需用多少铜？（铜的密度是8.9g/cm^3)
解：先求出镀层的体积，再乘上密度就得到每只球需用的铜的质量。
因为镀层的体积等于两个球体体积之差，所以它就是球体体积V=4πR^3/3，当R自R0取得增量△R时的增量△V，我们求V对R的导数
V'=(4πR^3/3)'=4πR0^2 (R→R0)
由上面的式子是不是就等于△V≈4πR0^2*△R ,然后将R0=1, △R=0.01代入上式，得
△V≈4x3.14x1^2X0.01≈0.13(cm^3)
于是镀每只球需用的铜约为0.13x8.9≈1.16(g)
2.在生产实践中，经常要测量各种数据，但是有的数据不易直接测量，这时我们就通过测量其他有关数据后，根据某种公式算出所要的数据，列如，要计算圆钢的截面积A,可先用卡尺测量圆钢截面的直径D，然后根据公式A=π/4D^2，算出A.
由于测量仪器的精度，测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差。
下面就讨论怎样利用微分来估计间接测量误差，先说明什么叫绝对误差、什么叫相对误差。
如果某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么lA-al叫做a的绝对误差，而绝对误差与lal的比值lA-al/lal叫做a的相对误差。
在实际工作中，某个量的精确值我们往往的无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得，但是根据测量仪器的精度等因素，又是能够确定误差在某一个范围内，如果某个量的精确值是A，测量它的近似值是a，又知道它的误差不超过b，即 lA-al≤b，那么b叫做测量A的绝对误差限，而b/lal叫做测量A的相对误差限。
列题：设测得圆钢截面的直径D=60.03mm,测量D的绝对误差限b=0.05mm,利用公式
A=πD^2/4
计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差
解：我们把测量D时所产生的误差当做自变量D的增量△D，那么利用公式A=πD^2/4来计算A时所产生的的误差就是函数A的对应增量△A,当l△Dl很小时，可以利用微分dA近似地代替增量△A，即
△A≈dA=A'*△D=π/2D*△D
由于D的绝对误差限位b=0.05mm，所以lDl≤b=0.05，而lAl≈ldAl=πD/2*l△Dl≤πDb/2
因此得出A的绝对误差限约为πDb/2=πx60.03x0.05/2=4.715(mm^2)
A的相对误差限约为πDb/2/πD^2/4=0.17％
以上是一元函数微分学在工程及生产上的简单应用，这是应用的途径，而不是我们最主要的，我们学习一元函数微分学的简单应用的目的说白了就是为了考试、考试、考试。
（一）平面曲线切线与法线
分析：这个题目拿过来，首先，曲线y=x^2+ax+b在点(1,-1)处的斜率
y'=(x^2+ax+b)'=2+a(x=1)
将方程2y=-1+xy^3对x求导得2y'=y^3+3xy^2y',由此可知，该曲线在(1,-1)处的斜率y'(1)为2y'(1)=(-1)^3+3y'(1),y'(1)=1，因这两条曲线在(1,-1)处相切，所以在该点它们的斜率相同，即2+a=1,a=-1,又曲线y=x^2+ax+b过点(1,-1),所以1+a+b=-1,b=-2-a=-1,因此选(D)
分析：这一题其实就是对参数方程的理解，以极坐标形式的参数方程来表示平面曲线，把极坐标方程r=r(&),转为参数方程 x=r(&)cos&,y=r(&)sin&,由此可得曲线的切线斜率，其中r(&)可导。
（二）平面曲线的曲率我们在后续会给大家慢慢讲解。
（三）用导数描述某些物理量，这部分知识只需了解一下，不要求一定掌握，在我们大学高数考试中及考研不经常考这一点。
今天的讲解的知识就到这里，如果对数学感兴趣的伙伴们可以把右上角的+号点一下，关注下小编，小编会把每天更新的第一手资料呈现到你们面前，记得收藏分享哦。
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