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解析几何提升篇——轨迹方程在高考中可能出现的六种情形

各位同学,在上期内容《圆锥曲线完结篇——抛物线在高考中的奥秘所在(高三兄弟可收藏)》中叶老师将圆锥曲线的所有内容都讲解完毕并做了个总结,同学们可以回顾一下。今天叶老师将为各位同学讲解一下高中阶段令同学比较纠结的一块内容——轨迹方程,希望能够对各位同学有所帮助!

作者简介:叶老师,笔名“动人定理”,专职教师,数学学科研究员,目前担任机构数学教研组组长及学生学业规划师。曾供职合作于多家上市教育公司,对中高考数学考点有着深入认知与理解。拥有超过10000小时的高三毕业班学生一对一辅导经验。

导读

在之前的一期内容《高三总复习必记:高考热门考点——轨迹方程的求法》中,叶老师向各位同学介绍了高中阶段求解轨迹方程的几种常见方法,各位也可以复习一下。前几天有粉丝私信我,让我进一步总结一下轨迹方程在高考中会出现哪些题型,并让我总结一下何时需要对轨迹方程的变量x,y进行讨论。根据叶老师以往的教学经验,动点轨迹方程在高考中的题型大致可分为六种。好了话不多说,下面我们来好好总结一下动点轨迹方程这六种常考题型吧!

动点轨迹方程中动点运动的六种情形

1.求到两定点距离之和为定值的动点轨迹方程

条件及问题分析:在这样的条件下,很多同学会想到椭圆的定义,于是乎便直接写出动点的轨迹方程,这样固然好,只不过希望同学们记住:只有当两个定点关于原点对称时,才可利用椭圆的定义进行求解。如果说两个定点并不关于原点对称的话,那么只能够借助两点间的距离公式列方程然后化简了

下面我们来看一道例题:

分析:本题可先求得圆的圆心坐标与半径,并利用直线平行同位角相等以及等腰三角形的性质,将EB转成与EA共线的线段ED,证明出结论。接下来将定值与|AB|进行比较并利用椭圆方程的定义进行求解

下面请看具体解析过程:

小结:对于此种类型的轨迹方程,叶老师想通过一张流程图向大家说明一下应对方案:

2.求过定点的动直线与定圆的两交点的中点轨迹方程

条件与问题分析:对于此类题型,同学们首先需要确定定点与定圆的位置关系,因为只有确定了它们的关系,才能确定动直线与定圆是否相交。最后利用垂径定理并结合向量数量积公式进行求解。另外对于直线与圆的问题,我们通常不建议使用联立方程消参的方法,因为太过繁琐。

下面我们来看一道例题:

分析:本题先得利用圆C的方程求出圆心坐标以及半径并设出M坐标,判断出直线L与圆的关系后利用垂径定理并结合向量的数量积公式进行求解。

下面请看具体的解析过程:

小结:对于此种类型的轨迹方程,叶老师想通过一张流程图向大家说明一下应对方案:

3.求与一个圆内切与另一个圆外切的动圆圆心轨迹方程

条件与问题分析:当求动圆圆心的轨迹方程时,首先需要确定两个定圆的位置关系,然后再来确定动圆如何与之分别相切。另外最好设出动圆的半径,这样可以更好地表示出内切外切的关系。

我们来看一道例题:

分析:先得判断两个定圆之间的位置关系,从而得到动圆p与圆M外切,与圆N内切,然后利用圆心距和半径的关系得到P到M和P到N的距离之和为定值,符合椭圆定义,从而得到轨迹方程。

下面请看具体解析过程:

小结:对于此种类型的轨迹方程,叶老师想通过一张流程图向大家说明一下应对方案:

4.求三角形顶点的轨迹方程

条件与问题分析:在解决此类问题的时候,请同学们切记三角形的三个顶点A,B,C不能共线。因此在求出轨迹方程后,还得画出图形,并排除三点共线的情况。

下面请看一道例题:

分析:本题首先得注意B与C都是等腰三角形底边的端点,因此就不需要讨论谁为顶点的问题了。另外请各位同学一定注意,如果A,B,C三点共线的话,则无法构成三角形,因此在求出轨迹方程后还应该在轨迹方程中挖去使A,B,C三点共线的点。

下面请看具体解析过程:

小结:对于此种类型的轨迹方程,叶老师想通过一张流程图向大家说明一下应对方案:

5.求两个坐标轴上截距为定值的动圆圆心方程

条件与问题分析:同学们先得明确一点:此类问题与就类似于求解圆的弦长题目一般,也是要用到垂径定理与勾股定理的。只不过此类问题中圆的弦正好落在x与y轴上,因此圆心到弦的距离,正好为圆心坐标的绝对值。根据这点我们便可利用勾股定理构造两个关于半径与弦长的方程,消去r后即可求解

下面请看一道例题:

分析:本题可先判断弦心距等于圆心坐标的绝对值,再利用勾股定理构建两个关于半径的等式,消去r后即得所求。

下面请看具体解析过程:

小结:对于此种类型的轨迹方程,叶老师想通过一张流程图向大家说明一下应对方案:

6.求随着曲线上动点的运动而有规律运动的动点轨迹方程

条件与问题分析:求此类问题时,通常设所求动点坐标为(x,y),并且在已知曲线上找到另一个动点(x0,y0),利用题设条件建立两个动点坐标之间的关系,也就是用x,y表示x0,y0.最后再将在已知曲线上运动的动点坐标带入所给曲线中,即可获得动点(x,y)的轨迹方程。

下面请看一道例题:

分析:本题可先设出在椭圆上的动点M的坐标,并表示N点坐标,利用向量的关系,确定M与P坐标之间的关系,最后用未知点P的坐标表示在曲线上的动点M的坐标。并将M带入椭圆方程中,即可得到答案。

下面请看具体解析过程:

小结:对于此种类型的轨迹方程,叶老师想通过一张流程图向大家说明一下应对方案:

写在文末的话

经过上述的总结,我们可以发现。这六种情形的轨迹方程题目,都是对之前直线与圆以及三种圆锥曲线知识的一种补充,同学们只有在熟悉前面知识的基础上,才能够轻松应对轨迹方程的问题。另外对于求解完轨迹方程后,是否要对其变量的范围进行讨论的问题,叶老师总结了如下几点:

①轨迹方程题目中,出现动直线时,我们可以把动直线斜率是否存在作为讨论范围的判断依据

②当题目中可以利用向量数量积公式求解出动点轨迹方程时,一般不需要对轨迹方程中变量的范围进行讨论。

③对于动圆内外切的问题,在求解完轨迹方程后,最后画出轨迹方程,并讨论边界情况是否存在

④对于随着曲线上动点的运动而有规律运动的动点轨迹方程题目,由于是用已知点进行回带的方法求解,因此原曲线方程的范围,就是轨迹方程变量的范围。

最后希望今天的内容能够对大家有所帮助!

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