试卷类型：B
广州市 2012届高三年级调研考试
数 学（理科） 2011.12
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：锥体体积公式，其中
为锥体的底面积，为锥体的高．
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．设全集，集合，，则等于
A． B． C． D．
2．设复数，，则在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，，若∥，则等于
A． B．
C． D．
4．等差数列的前项和为，已知，，则的值是
A．24 B．48 C．60 D．72
5．设随机变量，且，则实数的值为
A． 4 B． 6 C． 8 D．10
6．在正四棱锥中，底面正方形的边长为1，侧棱长为2，则异面直线与所成角的大小为
A．
B． C．
D．
7．已知函数，给出下面四个命题：①函数的最小正周期为；
②函数是偶函数；③函数的图象关于直线对称；④函数在区间上是增函数，其中正确命题的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．定义：若函数的图像经过变换后所得图像对应函数的值域与的值域相同，则称变换是的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换，其中不属于的同值变换的是
A．，将函数的图像关于轴对称
B．，将函数的图像关于轴对称Ks5u
C．，将函数的图像关于点对称
D．，将函数的图像关于点对称
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．展开式中的系数为 (用数字作答).
11．已知程序框图如右，则输出的=
．Ks5u
12．已知实数满足若目标函数
取得最小值时的最优解有无数个，则实数的值为_____．
13．已知直线与抛物线相交于、两
点，为抛物线的焦点，若，则的值为 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点，
于点，若圆的面积为，，则的长为 ．
15．（极坐标与参数方程选做题）
在极坐标系中，点的坐标为，曲线的方程为，则（为极点）所在直线被曲线所截弦的长度为 ．
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
如图，在中，点在边上，，，
．
（1）求的值；
（2）求的长．
17．（本小题满分12分）
某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为分，“居民素质”得分为分，统计结果如下表：
社区数量
| 居民素质 | |||||
1分 | 2分 | 3分 | 4分 | 5分 | ||
社 区 服 务 | 1分 | 1 | 3 | 1 | 0 | 1 |
2分 | 1 | 0 | 7 | 5 | 1 | |
3分 | 2 | 1 | 0 | 9 | 3 | |
4分 |
|
| 6 | 0 | 1 | |
5分 | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | |
（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；
（2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分的均值（即数学期望）为，求、的值．Ks5u
18.（本小题满分14分）
已知正方形的边长为2，．将正方形沿对角线折起，使，得到三棱锥，如图所示．
（1）当时，求证：；
（2）当二面角的大小为时，求二面角的正切值．
|
19．（本小题满分14分）
设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．
20.（本小题满分14分）
已知数列中，，，且．
（1）设，是否存在实数，使数列为等比数列．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）求数列的前项和．Ks5u
21．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．
广州市2012届高三年级调研测试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
答案 | D | D | A | B | A | D | C | B |
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．
9．10 10．
11．9
12．
13. 14．1 15．
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
解：（1）因为，
所以．…………………………………………………………2分
因为，
所以．…………………………………………………………4分
因为，
所以
………………………………6分
．…………………………………………………………8分
（2）在△中，由正弦定理，得，………………………………10分
所以．……………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区数量为个．………………………………………Ks5u………………………………2分
设这个社区能进入第二轮评比为事件，则．
所以这个社区能进入第二轮评比的概率为．……………………………………………………4分
（2）由表可知“居民素质”得分有1分、2分、3分、4分、5分，其对应的社区个数分别为个、个、个、个、9个．…………………………………………………………6分
所以“居民素质”得分的分布列为：
|
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|
……………………………………8分
因为“居民素质”得分的均值（数学期望）为，
所以．…………………………………10分
即．
因为社区总数为个，所以．
解得，．…………………………………………………………………………………12分
18．（本小题满分14分）
（1）证明：根据题意，在中，，，
所以，所以.………………………………………………………2分
因为是正方形的对角线，
所以．………………………………………………………………………………………3分
因为，
所以.………………………………………………………………………………4分
（2）解法1：由（1）知，，如图，以为原点，，所在的直线分别为轴，轴建立如图的空间直角坐标系，…………………………………………………………5分
则有，，，．
设，则，．………………………………6分
又设面的法向量为，
则即
所以，令，则．
所以．………………………8分
因为平面的一个法向量为，
且二面角的大小为，………………………………………………………………9分
所以，得．
因为，所以．
解得．所以．…………Ks5u……………………10分
设平面的法向量为，因为，
则，即
令，则．
所以．…………………………………………………………………………………12分
设二面角的平面角为，
所以．……………………………………………13分
所以．
所以二面角的正切值为．…………………………………………………………14分
解法2：折叠后在△中，，
在△中，．……………………………5分
所以是二面角的平面角，
即．………………………………………6分
在△中，，
所以．………………………………………………………………………………………7分
如图，过点作的垂线交延长线于点，
因为，，且，
所以平面．……………………………………Ks5u……………………8分
因为平面，所以．
又，且，所以平面．……………………………………9分
过点作作，垂足为，连接，
因为，，所以平面．…………………………………10分
因为平面，所以．
所以为二面角的平面角．……………………………………………………11分
在△中，，，则，，
所以．………………………………………………………12分
在△中，，所以………………………………………13分
在△中，．
所以二面角的正切值为．…………………………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
（1）由题设知，，，Ks5u………………………………1分
由，得．……………………………………3分
解得．
所以椭圆的方程为．…………………………………………………………4分
（2）方法1：设圆的圆心为，
则 ………………………………………………………………6分
……Ks5u……………………………………………7分
．………………………………………………………………8分
从而求的最大值转化为求的最大值．………………………………………………9分
因为是椭圆上的任意一点，设，…………………………………………………10分
所以，即．…………………………………………………………11分
因为点，所以．……………………………12分
因为，所以当时，取得最大值12．……………………………13分
所以的最大值为11．………………………………………………………………………14分
方法2：设点，
因为的中点坐标为，所以 ………………………………………………6分
所以……………………………………………7分
．…………………………………………………9分
因为点在圆上，所以，即．………………………10分
因为点在椭圆上，所以，即．…………………………………11分
所以．……………………………………………12分
因为，所以当时，．………………………………14分
方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为，………………………………6分
由，解得．………………………………………………………7分
因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．…………………………………………………………8分
所以，
……………………………………………………9分
所以．
……………………………………………………10分
因为，所以当时，取得最大值11．…………………………11分
②若直线的斜率不存在，此时的方程为，
由，解得或．
不妨设，，．…………………………………Ks5u…………………12分
因为是椭圆上的任一点，设点，
所以，即．
所以，．
所以．
因为，所以当时，取得最大值11．…………………………13分
综上可知，的最大值为11．………………………………………………………………14分
20．（本小题满分14分）
（1）方法1：假设存在实数，使数列为等比数列，
则有． ①……………………………………1分
由，，且，得，．
所以，，，………………2分
所以，
解得或．…………………………………………………………………………………3分
当时，，，且，
有．………………………………………………4分
当时，，，且，
有．…………………………………………5分
所以存在实数，使数列为等比数列．
当时，数列为首项是、公比是的等比数列；
当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分
方法2：假设存在实数，使数列为等比数列，
设，……………………………………………………………………………………1分
即，……………………………Ks5u………………………2分
即．………………………………………………………………………3分
与已知比较，令………………………………………………………4分
解得或．…………………………………………………………………………………5分
所以存在实数，使数列为等比数列．
当时，数列为首项是、公比是的等比数列；
当时，数列为首项是、公比是的等比数列．……………………………………6分
（2）解法1：由（1）知，……………………………………7分
当为偶数时，…………………………8分
…………………………………………………………9分
．…………………………………………………10分
当为奇数时，………………………………11分
…………………………………………………………12分
．……………………………………………13分
故数列的前360docimg_501_项和360docimg_502_………………………………………14分
注：若将上述和式合并，即得360docimg_503_．
解法2：由（1）知360docimg_504_360docimg_505_，…………………………………………………7分
所以360docimg_506_360docimg_507_，……………………………………………………8分
当360docimg_508_时，360docimg_509_
360docimg_510_
360docimg_511_．
因为360docimg_512_也适合上式，……………………………………………………………………………10分
所以360docimg_513_360docimg_514_360docimg_515_．
所以360docimg_516_．…………………………………………………………………………11分
则360docimg_517_，………………12分
360docimg_518_……………………………………………………………13分
360docimg_519_．……………………Ks5u………………………14分
解法3：由（1）可知，360docimg_520_…………………………………………………7分
所以360docimg_521_．…………………………………………………………………………8分
则360docimg_522_，……9分
当360docimg_523_为偶数时，360docimg_524_………………………………………10分
360docimg_525_．……………………………………………11分
当360docimg_526_为奇数时，360docimg_527_………………………………12分
360docimg_528_．………………………………………13分
故数列360docimg_529_的前360docimg_530_项和360docimg_531_………………………………………14分
注：若将上述和式合并，即得360docimg_532_．
21．（本小题满分14分）
解：（1）360docimg_533_360docimg_534_．……………1分
因为360docimg_535_为360docimg_536_的极值点，所以360docimg_537_．…………………………………………………2分
即360docimg_538_，解得360docimg_539_．……………………………………………………………………3分
又当360docimg_540_时，360docimg_541_，从而360docimg_542_的极值点成立．……………………………4分
（2）因为360docimg_543_在区间360docimg_544_上为增函数，
所以360docimg_545_在区间360docimg_546_上恒成立．…………………5分
①当360docimg_547_时，360docimg_548_在360docimg_549_上恒成立，所以360docimg_550_上为增函数，故360docimg_551_
符合题意．………………………………………………………………………………………………6分
②当360docimg_552_时，由函数360docimg_553_的定义域可知，必须有360docimg_554_对360docimg_555_恒成立，故只能360docimg_556_，
所以360docimg_557_上恒成立．…………………………………7分
令360docimg_558_，其对称轴为360docimg_559_，……………………………8分
因为360docimg_560_所以360docimg_561_，从而360docimg_562_上恒成立，只要360docimg_563_即可，
因为360docimg_564_360docimg_565_，
解得360docimg_566_．………………………Ks5u……………………………………9分
因为360docimg_567_，所以360docimg_568_．
综上所述，360docimg_569_的取值范围为360docimg_570_．………………………………………………………10分
（3）若360docimg_571_时，方程360docimg_572_可化为，360docimg_573_．
问题转化为360docimg_574_在360docimg_575_上有解，
即求函数360docimg_576_的值域．…………………………………………………………11分
以下给出两种求函数360docimg_577_值域的方法：
方法1：因为360docimg_578_，令360docimg_579_，
则360docimg_580_ ，…………………………………………………………12分
所以当360docimg_581_，从而360docimg_582_上为增函数，
当360docimg_583_，从而360docimg_584_上为减函数，…………………………………………13分
因此360docimg_585_．
而360docimg_586_，故360docimg_587_，
因此当360docimg_588_时，360docimg_589_取得最大值0．…………………………………………………………………14分
方法2：因为360docimg_590_，所以360docimg_591_．
设360docimg_592_，则360docimg_593_．
当360docimg_594_时，360docimg_595_，所以360docimg_596_在360docimg_597_上单调递增；
当360docimg_598_时，360docimg_599_，所以360docimg_600_在360docimg_601_上单调递减；
因为360docimg_602_，故必有360docimg_603_，又360docimg_604_，
因此必存在实数360docimg_605_使得360docimg_606_，
360docimg_607_，所以360docimg_608_上单调递减；
当360docimg_609_，所以360docimg_610_上单调递增；
当360docimg_611_上单调递减；
又因为360docimg_612_，
当360docimg_613_，则360docimg_614_，又360docimg_615_．
因此当360docimg_616_时，360docimg_617_取得最大值0. ……………………………Ks5u…………………………14分
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