数学培优——数轴上的动点问题
数轴上的动点问题是以数轴为背景，考查数轴知识运用的一类常见题型.解答这类问题时要注意数形结合思想、方程思想、分类讨论思想以及数轴上两点间距离公式的运用.
数轴上两点间的距离：数轴上两点A，B所表示的数a，b的差的绝对值叫做这两点间的距离，记作AB=|a-b|.
例1 已知点P是数轴上一个动点，它从点A出发，先向左移动3个单位到达点B，然后从点B 移动8个单位落在原点O.则点A表示的数是___________.
解析：设点A表示的数是a，因为点A向左移动3个单位到达点B，所以点B表示的数是a-3.
由题意，点B到原点O的距离是8，
即OB=8，
所以|a-3|=8，
所以a=11或-5.
例2 已知数轴上一只电子跳蚤第一次从原点O向右跳1个单位长度落在点A1，第二次从点A1向左跳2个单位长度落在点A2，第三次从点A2向右跳3个单位长度落在点A3，第四次从点A3向左跳4个单位长度落在点A4，…，如此继续下去，第2021次从点A2020向左跳2021个单位长度落在点A2021，则点A2021表示的数是______.
解析：依题意，得：
A1表示的数是1，
A2表示的数是1-2，
A3表示的数是1-2+3，
A4表示的数是1-2+3-4，
…，
A2021表示的数是：
1-2+3-4+…+2019-2020+2021
=(-1)×1010+2021=1011.
所以点A2021表示的数是2011.
例3 如图，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数－16，－8，10.现有甲、乙两只电子蚂蚁分别从A、C两点同时出发，相向爬行x秒，甲的速度为2个单位/秒.
（1）当x=5时，设甲爬行到点D，则D，B之间的距离DB=______；
（2）如果甲与乙恰好在点B相遇，求乙的速度；
（3）如果甲到A，B，C的距离之和为30个单位，求x的值；
解析：（1）依题意，得点D表示的数是
-16+5×2=-6，
所以DB=-6-(-8)=2；
（2）当甲从点A爬行到点B时，
（3）因为AB=-8-(-16)=8，
所以x=8÷2=4，
当x=4时，乙从点C爬行到点B，
因为BC=10-(-8)=18，18÷4=4.5，
所以乙的速度是4.5个单位/秒；
（3）设甲爬行到点P时，
甲到A，B，C三点的距离之和为30，
则AP=2x，点P表示的数是2x-16.
①如果点P在A，B之间，
则PA+PB=AB=8，
由PA+PB+PC=30，
得PC=30-8=22，
又PC=10-(2x-16)=26-2x，
所以26-2x=22，x=2；
②如果点P在B，C之间，
则PB+PC=BC=18，
由PA+PB+PC=30，得
PA=30-18=12，
又PA=2x，
所以2x=12，x=6；
综上，x的值等于2或6.
例4 如图，数轴A，B两点表示的数分别是-30和20，甲电子蚂蚁从点A出发，以每秒3个单位向右爬行2秒后，乙电子蚂蚁从点B出发向左爬行.
（1）如果甲、乙两只蚂蚁恰好在AB的中点相遇，求乙的速度；
（2）在（1）的条件下，求乙出发几秒后两只蚂蚁相距14个单位.
解析：（1）设AB的中点为C，
因为AB=18-(-30)=48，
所以AC=24，
所以甲从A爬行到C需要的时间为
24÷3=8(秒），
所以乙从B爬行到C所用的时间为
8-2=6(秒），
24÷6=4，
所以乙的速度为4个单位/秒；
（2）设乙出发x秒后甲爬行到点D，乙爬行到点E.则
点D表示的数是
-30+3(x+2)=3x-24，
点E表示的数18-4x.
①如果在相遇前相距14个单位，则
由DE=14，得
(18-4x)-(3x-24)=14，
即18-4x-3x+24=14，
整理，得-7x=-28，x=4；
②如果在相遇后相距14个单位，则
由DE=14，得
(3x-24)-(18-4x)=14，
即3x-24-18+4x=14，
整理，得7x=56，x=8.
所以乙出发4秒或8秒后两只蚂蚁相距14个单位.
例5 已知数轴上A，B两点表示的数分别是-5和10，点P为数轴上一个动点，其表示的数是x.
（1）如果点P到点A，B的距离之和为17，求x的值；
（2）如果点P以每分钟6个单位的速度从原点O出发向右移动，点Q以每分钟5个单位得速度从点A出发向右移动，点R以每分钟2个单位的速度从点B出发向右移动，设P，Q，R同时出发，问几分钟后PQ=PR？
解析：（1）当P在A，B之间时，
PA+PB=AB=10-(-5)=15<17，
所以P不可能在A，B之间；
当P在点A的左边时，
PA=-5-x，PB=10-x，
由PA+PB=17，得
(-5-x)+(10-x)=17，解得x=-6；
当P在点B的右边时，
PA=x-(-5)=x+5，PB=x-10，
由PA+PB=17，得
(x+5)+(x-10)=17，解得x=11；
所以x的值等于-6或11；
（2）设出发y分钟后PQ=PR.此时
P表示的数是6y，
点Q表示的数是-5+5y，
点R表示的数是10+2y.
①当点Q追上点R时，
Q，R重合，此时PQ=PR，
由Q，R重合，得
-5+5y=10+2y，解得y=5；
②当点Q为追上点R时，
PQ=6y-(-5+5y)=5+y，
PR=(10+2y)-6y=10-4y,
由PQ=PR，得
5+y=10-4y，y=1.
所以出发1分钟或5分钟后，PQ=PR.
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