人教版《因数与倍数》
一、基础与提高。
1、教学目标:
(1)认识自然数、整数、倍数、因数;
(2)认识奇数和偶数,掌握2,3,5的倍数的特征。
(3)在1-100中,能找出10以内某个自然数的所有倍数;能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。
(4)在1-100中,能找出某个自然数的所有因数;能找出两个自然数的公因数和最大公因数。
(5)利用公倍数和公因数的有关知识解决生活中的实际问题。
2、基础知识讲解:
●自然数a除以自然数b(0除外),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。
如果a能被b整除,a叫做b的倍数,b叫做a的因数。
●能被2,3,5整除的数的特征:
2的倍数特征:个位是0,2,4,6,8的数
5的倍数特征:个位是0,5的数
3或9的倍数特征:各个数位上的数字之和能被3或9整除。
4或25的倍数特征:末两位数能被4或25整除。
8或125的倍数特征:末三位数能被8或125整除。
11的倍数的特征:奇数位的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。
●奇数与偶数:能被2整除的数叫偶数,不能被2整除的数叫奇数。
质数与合数:一个数除了1和它本身以外,没有其它的因数,这个数叫做质数(素数)。一个数除了1和它本身外,还有别的因数,这个数叫做合数。1既不是质数,也不是合数。
把一个合数写成几个质数相乘的形式,叫做分解质因数。
●最大公因数与最小公倍数:一般情况用短除法求。
特殊情况:倍数关系:(m,n)=m
3、经典例题:
例1:下列哪些式子是整除式?
(1)8.8÷1.1=8
(3)29÷7=4……1
例2:写出24的因数和倍数。
分析与解:因为1×24=24
所以24的因数有:1,2,3,4,6,8,12,24
因为24×1=24,24×2=48,24×3=72,24×4=96……
所以24的倍数有24,48,72,96……
例3:一个数万位上是最小的合数,百位上是最大的一位数,个位上是最小的质数,百分位上的数既不是质数也不是合数,其余数位的数字是零,这个数是多少?
例4:1路汽车每隔3分钟发一次车,3路汽车每隔5分钟发一次车。这两路车同时发车后,至少再过多少分钟后又同时发车?
例5:小明想把一张长36厘米,宽24厘米的白纸折出一些尽可能大的正方形,最后没有多余,请问这些正方形的边长是多少?一共可以折出多少个正方形?
例6:为庆六一,六年级同学买来336枝红花,252枝黄花,210枝粉花,用这些花可以扎成每束最多多少束同样的花?在每束花中,红、黄、粉三种花共有几枝?
4、数学思想方法总结:
5、设计构想:
6、巩固练习:
1、写一个能同时被4和25整除的最小五位数。
2、在机床上有甲、乙两个齿轮相互咬合,甲齿轮有28个齿,乙齿轮有42个齿,当这两个齿轮第二次咬合时,乙齿轮转了几圈?
3、(1)A和B都是自然数,若A÷B=10,那么A与B的最大公因数是(
最小公倍数是(
(2)若A=3×2×5×7
4、有两个数,它们的最大公因数是15,最小公倍数是225,其中一个数是45,另一个数是多少?
5、有两个数,其中的一个数是另一个数的,已知它们的最小公倍数是54,那么这两个数的最大公因数是多少?
6、长和宽为自然数,面积为105的形状不同的长方形共有多少种?
7、一个长方形的面积是240平方厘米,长和宽是相邻的两个自然数,这个长方形的周长是多少厘米?
8、把14、33、6、55、35、49这六个数平均分成两组,使这两组数各自的积相等。
二、数学能力的拓展与提高。
1、数学思维方法的讲解。
(1)在求公倍数时,每3天去一次与每隔3天去一次并不一样,要注意区别。
(2)求一个数的因数有多少个,有一个公式,请同学们掌握,同时可以用来检验找因数时是否有遗漏的情况。
2、数学思维方法的应用。
例1:若A=32×54×75,那么A有多少个因数?
例2:有0,1,5,7,6五张卡片,从中选出四张组成一个四位数,使得这个数能被2整除,又能被3整除,这个数最大是多少?
例3:六年级72名学生共捐款( )85.9()元,若每人捐款的数量两样多,请你推测每人捐了多少钱?
例4:某班学生人数在40与50之间。如果分成6人一组,那么有一个小组少4人;如果分成8个人一组,那么有4个小组各多一人。求这个班的人数。
48-4=44
44÷8=5……4
满足条件。
答:这个班的人数是44人。
例5:从学校到少年宫的路上,一共有37根电线杆,原来每2根电线杆之间相距50米,现在要改成每2根之间相距60米,除两端的2根不需移动外,中间还有多少根不必移动?
3、巩固练习:
1、一个最简分数,分子、分母的和是50,如果把这个分数的分子、分母都减去5,所得分数的值是,原来的分数是(
A、
2、警察查找一辆肇事汽车牌号(四位数),一位目击者对数字很敏感。他提供说:“第一位数字最小,最后两位数是最大的两位偶数,前两位数字的乘积的4倍刚好比后两位数少2。“你能帮警察叔叔猜出这个车牌号吗?
3、一个能被2和3同时整除的四位数,它的千位上的数既是奇数又是合数,它的百位上的数不是质数也不是合数,它的十位上的数是最小的质数,个位上的数是多少?
4、一筐苹果不超过250个,3个3个地数,5个5个地数,7个7个地数恰好数完。这筐苹果最多有多少个?
5、商店里有6箱货物,分别重16,17,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的5箱。已知一个顾客买的货物的质量是另一个顾客的2倍。问:商店里剩下的1箱货物重多少千克?
6、甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米,三人沿600米的环形跑道从同一点同时同向跑步,经过多少时间三人又同时从出发点出发?
7、500位同学站成一排,从左到右数“1,2,3”报数,凡报到1和2的离队,报3的留下,向左看齐再重复同样的报数过程,如此进行了若干次后,只有两位同学了,这两位同学在开始的队伍中位于从左到右的第几个?
三、数学思维训练。
1、经典例题:
例1:在六位数568□□□的方框中填入三个数字,使这个六位数能被3,4,5整除。求满足条件的最小的六位数。
分析与解:设六位数为568ABC,因为六位数分别是3,4,5的倍数,所以:
(1)5+6+8+A+B+C=19+A+B+C是3的倍数,即A+B+C被3除余2。
(2)BC 是4的倍数。
(3)C=0或5。
由此可知,C=0,且B是0,2,4,6,8之一。
由于要求最小的六位数,所以A从最小数开始试验,有A=0、B=2时满足条件。所以所求的六位数为568020。
例2:已知七位数92AB427能被99整除,求这个七位数。
分析与解:因为99=9╳11,且9和11互质,所以所求的七位数要能被9和11整除。有:
(1)9+2+4+2+7+A+B=24+A+B是9的倍数,得:
A+B=3或
(2)9+4+7+A-(2+2+B)=16+A-B是11的倍数,得:
A-B=6或
对比条件可知,只有当A+B=12,A-B=6时,A、B有解:
A=9
因此所要求的数是:9293427
例3:把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块,而没有剩余,问能裁成最大的正方形纸块的边长是多少?共可裁成几块?
分析与解:要把长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块,还不能剩余,这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数。由于题目要求是最大的正方形纸块,所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数。
1米3分米5厘米=135厘米
1米5厘米=105厘米
(135,105)=15
长方形的面积是:135╳105=14175(平方厘米)
正方形的面积是:15╳15=225(平方厘米)
共可裁成正方形纸块:14175÷225=63(张)
例4:一盒铅笔,可以平均分给2,3,4,5,6个小朋友,这盒铅笔最少有多少支?
分析与解:这些铅笔可以平均分给2,3,4,5,6个小朋友,因此,铅笔的支数一定是2,3,4,5,6的公倍数,求铅笔最少有多少支,就是求2,3,4,5,6的最小公倍数。
[2,3,4,5,6]=60
例5:两个质数的和是50,求这两个质数的乘积的最大值是多少?
50=47+3=43+7=37+13=31+19
经计算发现:31╳19=587最大。
例6:试写出十个连续的自然数,个个都是合数。
分析与解:我们要想找出十个连续的自然数而且每个数都是合数,显然1,2,3,4,5,6,7,8,9,10是不行的,因为这十个自然数不是个个都是合数。
我们设K=1╳2╳3╳4╳5╳6╳7╳8╳9╳10╳11
那么K+2,K+3,K+4……K+11为连续的10个数。
K是2的倍数,所以K+2能被2整除;
K是3的倍数,所以K+3能被3整除;
K是4的倍数,所以K+4能被4整除;
……
K是11的倍数,所以K+11能被11整除。
所以K+2,K+3,K+4……K+11为连续的10个合数。
2、数学思维训练题:
1、爷爷对小明说:“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过几年是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”爷爷和小明现在的年龄各是多少?
设小明今年X岁,爷爷今年就是7X岁。再过A年,可列方程:
6(X+A)=7X+A
解得X=5A
再过B年,可列方程:
5(X+B)=7X+B
解得X=2B
所以X既是5的倍数,又是2的倍数,所以X是10的倍数。可从10尝试验证。恰好得到爷爷今年70岁,小明今年10岁。
2、甲、乙两人在400米的环形跑道上晨练,甲跑一圈需要70秒,乙跑一圈需要75秒,两人约好同时从起点出发,到两人同时回到终点时结束晨练,那么这次晨练他们用了几分钟?
1050÷60=17.5(分)
3、有一根绳子,分别在它的10等分处、12等分处和15等分处剪断,那么这根绳子最后被剪成几段?
4、大雪后的一天,小亮和爸爸共同步测一个圆形花园的周长,他俩走的起点和
方向完全相同,小亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两人的脚印有重合,所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印,求花园的周长。
5、有一根长方体木料,它相邻两个面的面积是108平方分米和32平方分米,长、宽、高都是整分米数且长度均不为1分米,如果把它锯成若干个小正方体并能拼成一个大正方体,那么这个长方体的长、宽、高各是多少?这根长方体木料最少能锯成几个小正方体?需要锯几次?
54 ÷2=27
16÷2=8
共
6、爷孙俩人今年的年龄乘积是693,4年前他们的年龄都是质数,爷孙俩人今年各多少岁?
7、一个长方体的正面和上面和面积和是209平方米,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?
8、把一个一位数的质数A写在另一个两位数的质数B的后面,得到一个三位数,这个三位数是A的87倍,求A和B。
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