代数式：
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z=x+iy
三角式：
z
=
r
(
c
o
s
φ
+
i
s
i
n
φ
)
z=r(cos\varphi+isin\varphi)
z=r(cosφ+isinφ)
指数式：
z
=
r
e
i
φ
z=r e^{i\varphi}
z=reiφ
若
z
1
=
r
1
e
i
φ
1
z_1=r_1e^{i\varphi_1}
z1=r1eiφ1和
z
2
=
r
2
e
i
φ
2
z_2=r_2e^{i\varphi_2}
z2=r2eiφ2，则
积：
z
=
z
1
+
z
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
+
φ
2
)
z=z_1+z_2=r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}
z=z1+z2=r1r2ei(φ1+φ2)
商：
z
=
z
1
z
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
−
φ
2
)
z=\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}
z=z2z1=r2r1ei(φ1−φ2)
若
z
=
r
e
i
φ
z=re^{i\varphi}
z=reiφ，则
乘方：
z
n
=
r
n
e
i
n
φ
z^n=r^ne^{in\varphi}
zn=rneinφ
方根：
z
n
=
r
n
e
i
(
φ
n
+
2
k
π
n
)
\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}e^{i(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n})}
nz
=nr
ei(nφ+n2kπ)
对数：
l
n
z
=
l
n
(
r
e
i
φ
)
=
l
n
∣
r
∣
+
i
φ
lnz=ln(re^{i\varphi})=ln|r|+i\varphi
lnz=ln(reiφ)=ln∣r∣+iφ
幂函数：
z
n
=
(
r
e
i
φ
)
n
=
r
n
e
i
n
φ
=
r
n
(
c
o
s
n
φ
+
i
s
i
n
n
φ
)
z^n=(re^{i\varphi})^{n}=r^ne^{in\varphi}=r^n(cosn\varphi+isinn\varphi)
zn=(reiφ)n=rneinφ=rn(cosnφ+isinnφ)
z
n
=
e
n
L
n
z
=
e
n
(
l
n
∣
z
∣
+
i
A
r
g
z
)
,
k
=
0
,
±
1
,
±
2...
z^n=e^{nLnz}=e^{n(ln|z|+iArgz)},k=0,\pm1,\pm2...
zn=enLnz=en(ln∣z∣+iArgz),k=0,±1,±2...
若 z = x + i y = r e i φ z=x+iy=re^{i\varphi} z=x+iy=reiφ，则 z z z的共轭复数定义 z ∗ = x − i y = r e − i φ z^*=x-iy=re^{-i\varphi} z∗=x−iy=re−iφ为复数 z z z的共轭复数， ∣ z ∣ 2 = z z ∗ \lvert z\rvert^2=zz^* ∣z∣2=zz∗。
e
i
φ
=
∑
n
=
0
∞
1
n
!
(
i
φ
)
n
=
∑
k
=
0
∞
i
2
k
2
k
!
φ
2
k
+
∑
k
=
0
∞
i
2
k
+
1
2
k
+
1
!
φ
2
k
+
1
e^{i\varphi}=\sum^{\infty}_{n=0}{\frac{1}{n!}(i\varphi)^n}=\sum^{\infty}_{k=0}{\frac{i^{2k}}{2k!}\varphi^{2k}}+\sum^{\infty}_{k=0}{\frac{i^{2k+1}}{2k+1!}\varphi^{2k+1}}
eiφ=∑n=0∞n!1(iφ)n=∑k=0∞2k!i2kφ2k+∑k=0∞2k+1!i2k+1φ2k+1
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
2
k
!
φ
2
k
+
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
2
k
+
1
!
φ
2
k
+
1
=\sum^{\infty}_{k=0}{\frac{(-1)^{k}}{2k!}\varphi^{2k}}+\sum^{\infty}_{k=0}{\frac{(-1)^{k}}{2k+1!}\varphi^{2k+1}}
=∑k=0∞2k!(−1)kφ2k+∑k=0∞2k+1!(−1)kφ2k+1
=
c
o
s
φ
+
i
s
i
n
φ
=cos\varphi+isin\varphi
=cosφ+isinφ
s
i
n
φ
=
1
2
i
(
e
i
φ
−
e
−
i
φ
)
sin\varphi=\frac{1}{2i}(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})
sinφ=2i1(eiφ−e−iφ)
c
o
s
φ
=
1
2
(
e
i
φ
+
e
−
i
φ
)
cos\varphi=\frac{1}{2}(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi})
cosφ=21(eiφ+e−iφ)
若在复数平面上存在点集
E
E
E，对
E
E
E的每个点
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z=x+iy都有复数
w
=
u
+
i
v
w=u+iv
w=u+iv与之对应，则称
w
w
w为
z
z
z的函数，
z
z
z为
w
w
w的变量，定义域为
E
E
E，记为：
w
=
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
,
z
∈
E
w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z\in E
w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z∈E
也即：
f
:
z
=
x
+
i
y
⟶
w
=
u
+
i
v
f: z=x+iy\longrightarrow w=u+iv
f:z=x+iy⟶w=u+iv
定义了一个复变函数实际上定义了两个相关联的实二元函数，因此复函数将具有独特的性质。
例如：
w
=
f
(
z
)
=
z
2
=
(
x
+
i
y
)
2
=
x
2
−
y
2
+
2
i
x
y
w=f(z)=z^2=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy
w=f(z)=z2=(x+iy)2=x2−y2+2ixy
这样
{
u
(
x
,
y
)
=
x
2
−
y
2
v
(
x
,
y
)
=
2
x
y
设
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z)是在区域
B
B
B的定义的单值函数。若在
B
B
B内的某点
Z
Z
Z，极限：
lim
△
z
→
0
△
w
△
z
=
lim
△
z
→
0
f
(
z
+
△
z
)
−
f
(
z
)
△
z
\lim \limits_{\triangle z\rightarrow0}\frac{\triangle w}{\triangle z}=\lim \limits_{\triangle z\rightarrow0}\frac{f(z+\triangle z)-f(z)}{\triangle z}
△z→0lim△z△w=△z→0lim△zf(z+△z)−f(z)
存在，且与
△
z
→
0
\triangle z\rightarrow0
△z→0的方向无关，则称函数
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z)在
z
z
z点可导，称该极限为函数
f
(
z
)
f(z)
f(z)在
z
z
z点的导数，记为
f
′
(
z
)
f'(z)
f′(z)或
d
f
d
z
\frac{df}{dz}
dzdf。
1、当
△
z
\triangle z
△z沿实轴
x
x
x趋于
0
0
0，即
△
y
=
0
,
△
z
=
△
x
→
0
\triangle y=0,\triangle z=\triangle x\rightarrow0
△y=0,△z=△x→0时，有
lim
△
z
=
△
x
→
0
f
(
z
0
+
△
z
)
−
f
(
z
0
)
△
z
=
=
lim
△
x
→
0
u
(
x
0
+
△
x
,
y
0
)
+
i
v
(
x
0
+
△
x
,
y
0
)
−
u
(
x
0
,
y
0
)
−
i
v
(
x
0
,
y
0
)
△
x
=
∂
u
∂
x
+
i
∂
v
∂
x
2、当
△
z
\triangle z
△z沿虚轴
y
y
y趋于
0
0
0，即
△
x
=
0
,
△
z
=
△
y
→
0
\triangle x=0,\triangle z=\triangle y\rightarrow0
△x=0,△z=△y→0时，有
lim
△
z
=
△
y
→
0
f
(
z
0
+
△
z
)
−
f
(
z
0
)
△
z
=
=
lim
△
y
→
0
u
(
x
0
,
y
0
+
△
y
)
+
i
v
(
x
0
,
y
0
+
△
y
)
−
u
(
x
0
,
y
0
)
−
i
v
(
x
0
,
y
0
)
i
△
y
=
∂
v
∂
y
−
i
∂
u
∂
y
若函数 f ( z ) f(z) f(z)在 z 0 z_0 z0点及其邻域上处处可导，则称 f ( z ) f(z) f(z)字 z 0 z_0 z0解析，在区域E上每点都解析，则称 f ( z ) f(z) f(z)在区域上的解析函数。
解析函数的实部和虚部通过柯西黎曼（C-R）方程相互联系：知其中一个函数，可求另一个函数。
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