【数学趣味】数独，一门学问

数独，一门学问

即使是天使也会为数学问题而苦思冥想，五百年前，德国名画家丢勒的木刻画《忧郁症》中，一位天使因为牵挂画中的数字题患上忧郁症。两百多年前，瑞士数学家欧拉发明了数独雏形。1984年，日本益智游戏出版社Nikoli重新挖掘出这个游戏，改良并正式命名为“数独”（Sudoku）。

今天，这些数个小九宫格组成的大九宫格在成为欧美国家白领工作之余的休息时间以及乘车上下班途中最佳良伴后，也被本城写字楼里的男男女女视作娱乐新宠，一伙人时常因为做题速度每每提高几分钟而欣喜若狂。

让画中天使牵挂的就是墙上挂着的数字迷宫，横向、纵向、对角线数字和都是34，最下面一行中间两格，画家自娱地留下了创作年代1514

欧拉与拉丁方

作为数学史上最传奇、最多产的大师之一，瑞士数学家欧拉在18世纪研究了一种有趣的数字方阵：考虑一个阶数（亦即行数和列数）为n的方阵，在小格里填入n种符号或数字，在每一行/列中，每一个符号出现且仅出现一次。这种方阵源自中世纪的格盘游戏，其求解过程可归结为“染色问题”———一个数学中最古老的问题之一。因为最初随手填入方阵内的是一个个拉丁字母，欧拉将这样的方阵命名为拉丁方。拉丁方在实验设计、数据检验和幻方构造等领域应用极广。

很容易发现，数独其实正是一种特殊的拉丁方。惟一不同的是，数独加上了两个额外的条件：一、在每个小九宫格的区域内，每个数字同样出现且只出现一次；二、给出的初始数字必须对称。  

数独机取题不尽，办公无纸化，咱也要“无纸化数独”

终盘的可能性

通常将一个完成了的数独题目称为终盘。在数独游戏风行后，人们很快便希望知道这个游戏究竟存在多少个终盘形式。对此，德国数学家Felgenhauer在2005年给出了答案：数独的最大可能终盘数为6，670，903，752，021，072，936，960种。

Felgenhauer的算式为9！×722×27×27，704，267，971，最后的数字是一个大质数。虽然这个天文数字已经足够惊人，但考虑到作为一种特殊限制的拉丁方，数独终盘的可能性只是可能存在的九阶拉丁方数目的0.00012%！

另一个方面，考虑到数独游戏的初始数字对称要求，以上结果可能有相当程度的重复，亦即其终盘结果会出现大量的雷同。据此，英国数学家FrazerJarvis和EdRussell给出了更准确的不同终盘数：5，472，730，538.这样一来，有志于破解所有数独题目的玩家又看到了希望的曙光，担心游戏被穷尽而没有游戏可玩的爱好者也不必焦虑：毕竟这个数目和地球人口一样多。

17个起始数的数独

最小初盘问题

与终盘相对应，一个数独游戏给出的初始条件称为初盘。由于规则所限，给出的初盘数字个数必须在32以下。

一般常见的初盘数字个数在22—28之间，而数独爱好者们常问的一个问题是：最少给出多少个数字，数独游戏才确保有惟一解？具体地说：最少需要在初盘中给出多少个数字，使得移除其中任何一个数字该数独游戏便没有惟一解。

事实上，这个问题是数独中最有数学趣味的问题之一，并且至今仍未得到解决。但数学家们估计，这个数字很可能是17.17个数字的最小惟一解初盘是由一名日本数独爱好者发现的。澳大利亚数学家GordonRoyle已经收集了36628个17个数字的惟一解初盘，而爱尔兰数学家Gary McGuire则致力于寻找16个数字的惟一解初盘，但至今仍无发现。部分数学家开始退而求其次，转而寻找只有两个解的16个数字初盘。

统计学家根据一个统计学原理曾随机地构造了大量17个数字的初盘，发现其中有惟一解的初盘只有数个未被GordonRoyle教授发现，这意味着，最小惟一解初盘问题的最终答案可能正是17：因为从理论上说，如果16个数字的惟一解终盘存在，那么每一个必将引起65个17个数字惟一解终盘的增加，而在研究中至今没有观察到这一效应。

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最大初盘问题

与最小初盘问题相反，人们还可以提出最大初盘问题。

也就是说：在一个数独初盘中，最多能给出多少个数字，使得再增加一个数字该问题便只有惟一解。

相对于最小初盘问题，最大初盘问题容易解决得多。采用倒推法，在初始数字为80的情况下无需说明，缺啥补啥即可；在初始数字为79的初盘中也大约如此，因为考虑到必须满足每一个小九宫格内每个数字出现且仅出现一次，这意味着所缺少的数字都必须出现在同一个九宫格内，考虑到这个情况，还可以依次推出78的初盘也有惟一解。但当初盘中给定数字变为77的时候，该数独游戏便会出现至少两解。

充满未来感的液晶数独，要求补充完整液晶显示数，这个噱头既是给玩家的提示，也是限制。

数字游戏

“数独”可以被定义为一种逻辑智力拼图游戏，也可以被称为“数字游戏”。顾名思义，“数独”可以理解为一组独立的数字，将这组数字以一定的规则组合在一定区域内，便是数独游戏的主要内容。

具体地说，拼图是大九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，由9个小九宫格组成。游戏的目标是在每一个小九宫格中，不重复地填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。一般而言，一条数独题会给出1/3左右的数字作为初始条件，剩下的2/3空白处由读者完成。

也许正是因为规则简单，所以数独才能迅速风靡世界。既然玩数独游戏无需数学运算或证明，似乎完全可以将其称为“数字游戏”。

传播史

Nikoli是所有数独爱好者需要感谢的第一个名字。

数独游戏在1979年前后已经在美国Dell杂志上刊登，但在众多填字游戏中并未引起特别注意。直到1984年，日本的填字游戏出版商Nikoli公司的煅治真起从美国发现了这个游戏，决定引入日本并将其命名为Sudoku，意思是“每个数字只能出现一次”。

随着Sudoku游戏在日本国内大受欢迎，Nikoli公司在1986年对其进行了两项改良：其一是题目中给出的初始数字限定在32个以内，其二是给出数字的分布采用对称形式。这就是今天我们看到的数独游戏的面貌。

很难解释为何在此后的十多年里，数独游戏一直只在日本国内流行。但可以肯定的是，将数独游戏重新发现并推广到国际市场的，是一名香港高等法院退休法官、新西兰人高乐德。他在1997年一次日本旅行中，在书店内发现数独游戏，立刻被其吸引住。此后高乐德花了六年时间开发数独出题程序，并向英国《泰晤士报》等报社出售其编写的数独题目。英国市场反应极佳，数独开始风行全球，而高乐德本人也因此获得巨额收入。

经过两年的迅速发展，数独游戏已经“侵入”了几乎一切公共传播领域：数以千计的报纸提供数独游戏，数十种数独刊物，全球各地分别成立了数独爱好者团体，电视上已经出现了数独节目，2006年3月举行了第一届数独世界锦标赛，捷克一名女会计师夺冠。

买印上数独题的水杯随时动脑，但做不出来别摔杯子出气

怎样出一道数独题

骨灰级数独玩家对用计算机程序编写的数独题目始终抱有成见，认为其偏离了数独的初衷，日本Nikoli公司多年来就一直坚持其出版的所有数独题目皆由人工算出。对于那些既不擅长编程序，又不愿意费时耗力慢慢推算的数独爱好者而言，吴硕辛先生介绍的一种出题方法可谓简单易行。

吴硕辛先生多年来一直从事高阶幻方研究，其发表的mi（q）理论被誉为是幻方研究的最前沿成果之一。

年届七旬的吴先生最初被数独游戏吸引，也正是因为在其中看到了拉丁方的影子：“对我们搞幻方的人来说，构造对角拉丁方是最常用的手段之一。”吴先生在研究中发现，如果将九阶拉丁方（当然空格里填的必须是1-9的数字）与已有的一道数独题相结合，可以很方便地得出一道新的数独题。

具体做法是：准备任意一个完整的九阶拉丁方（81格都填满，后文以A代表）和任意一道现有的数独题（后文以B代表）。将B中所出的数字的位置分别标为b1，b2，b3……bn，然后在A中找到相对应的位置a1，a2，a3……an，再将B中b1至bn的数值分别替换为a1至an的数值，空白的格子仍旧留为空白，这样就能得到一个新的数独题，并且保证有解。

古埃及石墙上的数字方阵也许是最古老的数独游戏

数独与魔方

稍加观察即可发现，“数独”中的数字1－9可以被替换为任意不重复的数组，也可以换为a、b、c、d等非数字序列，甚至可以替换为9种不同的颜色，只要这些颜色之间有明显区别。这让人们想起了80年代风靡全球的魔方游戏，事实上，数独的游戏规则看起来正像是一个平面化了的魔方的逆过程。

芬兰一名数学家因卡拉号称设计出全球最难的数独游戏