“两分法”:向着一个目的地运动的物体,首先必须经过路程的中点,然而要经过这点,又必须先经过路程的1/4点……,如此类推以至无穷。——结论是:无穷是不可穷尽的过程,运动是不可能的。“阿基里斯(《荷马史诗》中的善跑的英雄)追不上乌龟”:阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点,因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样,所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。 “飞矢不动”:意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上,因而是静止的,所以箭就不能处于运动状态。 “操场或游行队伍”:A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的c来看,比如说A、B都在1小时内移动了2公里,可是从A看来,则B在1小时内就移动了4公里。运动是矛盾的,所以运动是不可能的。 芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分,因而运动是连续的观点,后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分,因而运动是间断的观点。芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景,不一定是专门针对数学的,但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大波。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾,但他们无法解决这些矛盾。其后果是,希腊几何证明中从此就排除了无穷小。 经过许多人多年的努力,终于在17世纪晚期,形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者,他们的功绩主要在于:把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法;有明确的计算步骤;微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性,微积分成为当时解决问题的重要工具。同时,关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,造成了第二次数学危机。 无穷小量究竟是不是零?两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释:1669年说它是一种常量;1671年又说它是一个趋于零的变量;1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是,他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量,但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。 英国大主教贝克莱于1734年写文章,攻击流数(导数)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人,是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说,用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误,“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题,不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护,而不是出自对科学的追求和探索。 当时一些数学家和其他学者,也批判过微积分的一些问题,指出其缺乏必要的逻辑基础。例如,罗尔曾说:“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的初期,科学中逻辑上存在这样那样的问题,并不是个别现象。18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的,强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是:没有清楚的无穷小概念,从而导数、微分、积分等概念不清楚;无穷大概念不清楚;发散级数求和的任意性等等;符号的不严格使用;不考虑连续性就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。 直到19世纪20年代,一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始,到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了一个严格的基础。 波尔查诺给出了连续性的正确定义;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发,认识到函数不一定要有解析表达式;他抓住极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量,无穷小量是以零为极限的变量;并且定义了导数和积分;狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上,威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方,给出现在通用的极限的定义,连续的定义,并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。 19世纪70年代初,威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理,从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。 三、第三次数学危机 数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的,从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支,并且实际上集合论已经成了数学的基础,因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 1897年,福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论;两年后,康托发现了很相似的悖论,它们涉及到集合论中的结果。1902年,罗素发现了一个悖论,它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。 罗素,英国人,哲学家、逻辑学家、数学家。1902年著述《数学原理》,继而与怀德海合著《数学原理》(1910年~1913年),把数学归纳为一个公理体系,是划时代的著作之一。他在很多领域都有大量著作,并于1950年获得诺贝尔文学奖。他关心社会现象,参加和平运动,开办学校。1968~1969年出版了他的自传。 罗素悖论曾被以多种形式通俗化,其中最著名的是罗索于1919年给出的,它讲的是某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则:他只给不自己刮胡子的人刮胡子。当人们试图答复下列疑问时,就认识到了这种情况的悖论性质:“理发师是否可以给自己刮胡子?”如果他给自己刮胡子,那么他就不符合他的原则;如果他不给自己刮胡子,那么他按原则就该为自己刮胡子。 罗素悖论使整个数学大厦动摇了,无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后,在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷本末尾写道:“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,即在工作完成之时,它的基础垮掉了。当本书等待付印的时候,罗素先生的一封信把我就置于这种境地”。狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版付印,这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认为自己过去做的工作都是“废话”,声称要放弃不动点原理。 自从在康托的集合论和发现上述矛盾之后,还产生了许多附加的悖论。集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论有关系。例如公元前四世纪的欧伯利得悖论:“我现在正在做的这个陈述是假的”。如果这个陈述是真的,则它是假的;然而,如果这个陈述是假的,则它又是真的了。于是,这个陈述既不能是真的,又不能是假的,怎么也逃避不了矛盾。更早的还有埃皮门尼德(公元前6世纪,克利特人)悖论:“克利特人总是说谎的人”。只要简单分析一下,就能看出这句话也是自相矛盾的。 集合论中悖论的存在,明确地表示某些地方出了毛病。自从发现它们之后,人们发表了大量关于这个课题的文章,并且为解决它们作过大量的尝试。就数学而论,看来有一条容易的出路:人们只要把集合论建立在公理化的基础上,加以充分限制以排除所知道的矛盾。 第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的,以后还有多人进行了加工。但是,此程序曾受到批评,因为它只是避开了某些悖论,而未能说明这些悖论;此外,它不能保证将来不出现别种悖论。 另一种程序既能解释又能排除已知悖论。如果仔细地检查就会发现:上面的每一个悖论都涉及一个集合S和S的一个成员M(既M是靠S定义的)。这样的一个定义被称作是“非断言的”,而非断言的定义在某种意义上是循环的。例如,考虑罗素的理发师悖论:用M标志理发师,用S标示所有成员的集合,则M被非断言地定义为“S的给并且只给不自己刮胡子人中刮胡子的那个成员”。此定义的循环的性质是显然的——理发师的定义涉及所有的成员,并且理发师本身就是这里的成员。因此,不允许有非断言的定义便可能是一种解决集合论的己知悖论的办法。然而,对这种解决办法,有一个严重的责难,即包括非断言定义的那几部分数学是数学家很不愿丢弃的,例如定理“每一个具有上界的实数非空集合有最小上界(上确界)”。 解决集合论的悖论的其它尝试,是从逻辑上去找问题的症结,这带来了逻辑基础的全面研究。 从1900年到1930年左右,数学的危机使许多数学家卷入一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及到数学的根本,因此必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中,原来不明显的意见分歧扩展成为学派的争论。以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。它们都是唯心主义学派,它们都提出了各自的处理一般集合论中的悖论的办法。他们在争论中尽管言语尖刻,好象势不两立,其实各自的观点都吸收了对方的看法而又有很多变化。 1931年,哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点,哲学的争论黯淡了下来。此后,各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决,但大部分数学家并不大关心哲学问题。直到近年,数学哲学问题才又激起人们的兴趣。 承认无穷集合、承认无穷基数,就好像一切灾难都出来了,这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除,矛盾可以解决,然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论中一大堆公理,简直难说孰真孰假,可是又不能把它们都消除掉,它们跟整个数学是血肉相连的。所以,第三次数学危机表面上解决了,实质上更深刻地以其它形式延续着。数学中的矛盾既然是固有的,它的激烈冲突——危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容,有时也带来了革命性的变化。把20世纪的数学同以前全部数学相比,内容要丰富得多,认识要深入得多。在集合论的基础上,诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论,数理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。古代的代数几何、微分几何、复分析现在已经推广到高维。代数数论的面貌也多次改变,变得越来越优美、完整。一系列经典问题完满地得到解决,同时又产生更多的新问题。特别是二次大战之后,新成果层出不穷,从来间断。数学呈现无比兴旺发达的景象,而这正是人们同数学中的矛盾、危机斗争的产物。
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