不用极限微积分

​小宇宙

不用极限的微积分，这一号称第三代微积分是由林群院士发起，张景中院士推广的，旨在为“知难行易”的微积分减肥。出发点很简单：瞬时速度有时比平均速度大，有时比平均速度小，当然匀速运动的情形两者相等。从这个基本道理提炼出估值不等式，形成甲乙函数的概念。
定义1（甲函数和乙函数）设函数F(x)和f(x)都在数集S上有定义，若对S中任意两点u<v，总有[u,v]∩S中的p和q，使有不等式
                             f(p)≤ F(v)-F(u)／v-u ≤f(q)
成立，则称F(x)是f(x)在数集S上的甲函数，f(x)是F(x)在数集S上的乙函数。
先看几个例子：
例1 求f(x)=x²的乙函数
解答：f(v)-f(u)／v-u = v²-u² / v-u=u+v ，而2u<u+v<2v ，表明g(x)=2x是f(x)=x²的乙函数
例2 求f(x)=1/x在(-∞,0)上的乙函数
解答：当u<v<0时有-1/v²≤ f(v)-f(u)/v-u=1/(v-u)·(1/v-1/u)= -1/u·v≦ -1/u²，取p=v和q=u可见g(x)= -1/x²是f(x)=1/x在(-∞,0)上的乙函数

我们自然会问，难道乙函数就是导数？下面这个例子告诉我们不尽如此
例3 数列An=A(n)(n=0,1,2,…)可以看成定义域为自然数集的函数，其前n+1项之和Sn=S(n)=∑Ak（k从0到n）也是定义域为自然数集的函数。则A(n)是S(n)的乙函数。
证明： 对于任意两个自然数n<m，有S(m)-S(n)=∑Ak（k从n+1到m）；
           设{An，An+1，…Am}中最小者为Ap，最大者为Aq，则
           Ap=(m-n)Ap/m-n≤S(m)-S(n)/m-n≤(m-n)Aq/m-n=Aq.
           这表明A(n)是S(n)的乙函数。
看来乙函数和导数还不一样，函数F(x)的导数是在一点x=u处定义的，并要求F(x)在包含x=u的某个区间上有定义；而F(x)的的乙函数是在F(x)的定义域数集S上定义的，S可以不包含区间。

我们再来问一个问题，是不是区间I上定义的每个函数都有乙函数呢？答案居然是肯定的，请看下例
例4 在每个区间上无上界也无下界的函数
在区间I上定义函数f(x):若x为无理数，令f(x)=0;若x为既约分数q/p(p>0)，令f(x)=(-1)^p · p 。则容易证明，f(x)在任意长度不为0的区间上既无上界也无下界。显然这样定义的函数f(x)是在区间I上定义的每个函数的乙函数！
所以我们才要给乙函数带上脚铐，加些限制，使他规规矩矩地为我们服务。

让我们仔细想一想，估值，就是从大小两头来限制中间的东西。如果两头互不关照，各奔天涯海角，中间的东西就落个逍遥自在，估不出所以然来，要想有效估值，两头的f(p)和f(q)就不能离得太远，即|f(p)-f(q)|不能太大，这就要求对乙函数的性质有所要求。
经过一番选择，我们认定了差商有界函数。
定义2 差商有界函数
设函数f(x)的定义域S由有限个区间组成。如果对于S的任意闭子区间[a,b]都有正数M，使得[a,b]中任意两数u,v都满足不等式
                                    |f(u)-f(v)|≤M|u-v| （李普希兹条件）
则称f(x)在S上差商有界。
容易验证，初等函数在其合适的定义域上都满足差商有界，并能取得李普希兹常数M。

导数的概念，从一开始就和无穷小结下不解之缘，而乙函数的引入，却如此平凡普通，两者到底是什么关系？现在借助于差商有界的概念，乙函数和导数的关系就要明朗化了。
命题1 设函数g(x)是f(x)在[a,b]上的乙函数；如果g(x)在[a,b]上差商有界且M是其李普希兹常数，则对[a,b]中任意两点u<v和s∈[u,v]有
          |f(v)-f(u)-g(s)·(v-u)|≤M(v-u)² (1)
证明：
由乙函数定义，有[u,v]上的点p和q使得g(p)≤f(v)-f(u)/v-u≤g(q)，同减g(s)得
g(p)-g(s)≤f(v)-f(u)/v-u - g(s)≤g(q)-g(s) (2)
再由g(x)在[a,b]上差商有界且M是其李普希兹常数得
| g(p)-g(s) |≤M|p-s|≤M|u-v|
| g(q)-g(s) |≤M|q-s|≤M|u-v| (3)
将（3）用于（2）再做一步去分母即可得到（1）。
再仔细看看不等式（1），你发现了什么？注意s是[u,v]上任意一点，所以可令s=u；再记v-u=h，于是v=u+h，两边再同除以|h|，（1）就成了
|[f(u+h)-f(u)]/h -g(u)|≤M|h|.
在这个不等式中，如果h无限趋于0，右边的M|h|也就无限趋于0，从而差商[f(u+h)-f(u)]/h和一个确定的数A=g(u)无限接近。按传统微积分教材里的定义，g(u)就是函数f(x)在点x=u处的导数！

真相是：差商有界的乙函数就是导数。注意虽然这里涉及了无穷小的概念，但只是为了说明导数本身的定义。

说道这里，就暂且歇了吧，虽然书的后文还有更精彩的强导数，以及不用极限论定积分。另外，用乙函数处理传统微积分的问题（比如求切线，求最值等）也是全书的关键点，所有的推论不提极限二字，这也就是书名的来历。大家就自己看吧，我只是做个科普，抛个砖什么的。最后张院士自己也说了，他的书所提供的仅仅是一元微积分的基本理论和方法，并且把讨论的范围限制在导数为差商有界函数的函数类，建立了一个不依赖极限理论的严谨的一元微积分体系。但是，极限的概念和方法毕竟是数学分析的重要部分，尽管不用它可以建立微积分，但涉及无穷的推理和计算仍要用到极限。