初中数学几何最值模型第20讲——最大张角（最大视角，米勒定理）

故事背景

米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”。

米勒问题

已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？

对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题

米勒定理

已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。

证明：如图1，设C`是边OM上不同于点C的任意一点，连结C`A，C`B，因为∠AC`B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC`B小于∠ACB，故∠ACB最大。

米勒定理在解题中的应用和现在中考的热点阿氏圆一样都为竞赛和高中内容下放为初中压轴。

最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。

典型例题

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°

（1）证明：△ABF∽△FCE；

（2）当DE取何值时，∠AED最大．

【解答】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∵∠AFE＝90°，

∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，

∴∠AFB＝∠FEC，

∴△ABF∽△FCE．

（2）取AE的中点O，连接OD、OF．

∵∠AFE＝∠ADE＝90°，

∴OA＝OD＝OE＝OF，

∴A、D、E、F四点共圆，

∴∠AED＝∠AFD，

∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，

∵△ABF∽△FCE，

2.如图，O是坐标原点，过点A（﹣1，0）的抛物线y＝x²﹣bx﹣3与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，其顶点为D点．

（1）求b的值．

（2）连结BD、CD，动点Q的坐标为（m，1）．

①当四边形BQCD是平行四边形时，求m的值；

②连结OQ、CQ，当∠CQO最大时，求出点Q的坐标．

【解答】

解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x²﹣bx﹣3，可得1+b﹣3＝0，解得b＝2；

（2）①设抛物线的对称轴与x轴交于点E．

∵y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）²﹣4，

∴D（1，﹣4），则OE＝1，DE＝4，

令x＝0得，y＝﹣3；令y＝0得，x²﹣2x﹣3＝0．

解得x＝﹣1或x＝3．

∴OB＝3，OC＝3，BE＝2，

如图1，过C作BD的平行线与直线y＝1相交，则交点必为Q，设直线y＝1与y轴交于点F，则CF＝4．

∵DE∥FC，

∴∠FCQ＝∠EDB．

又∵CF＝4＝DE，∠QFC＝90°＝∠BED，

在△QFC和△△BED中

  

∴△QFC≌△BED，

∴CQ＝BD，FQ＝EB＝2，

∴m＝FQ＝2；

②如图2，记△OQC的外心为M，则M在OC的垂直平分线MN上（设MN与y轴交于点N）．

连接OM、CM，则∠CQO＝∠CMO＝∠OMN，MC＝MO＝MQ，

  ∴sin∠CQO的值随着OM的增大而减小．

  又∵MO＝MQ，

  ∴当MQ取最小值时sin∠CQO最大

  即MQ垂直直线y＝1时，∠CQO最大，

  此时，⊙M与直线y＝1相切．

∴Q坐标为（2，1）．

根据对称性，另一点（﹣2，1）也符合题意．

综上可知，Q点坐标为（2，1）或（﹣2，1）．

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