辅助圆轻松解决中考数学压轴（2）——等线段共顶点

辅助圆是一种工具，方便我们解题，包含求解线段和角度。而线段包括定值求解及最值，角度也有定值和最值。这个专题将带领同学们通过辅助圆的思想，解决我们的中考压轴题目，为压轴题目找到简洁的办法。

壹

两等线段共顶点

若两等线段共定点，包含相等边长的等腰三角形，都可以顶点为圆心，定长为半圆构造相应的辅助圆。若AB=AC则可以做以AC为半径，圆心为A的辅助圆。

经典例题

在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．

（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

【分析】

⑴ 图略30°⑵ 如图，连接PC，根据对称性可知，PA=PC=PQ， 以P为圆心、PA长为半径作圆，   则由定长辅助圆可以得知∠CDP=90°-α．

贰

三等线段共顶点

如图当AC=AB=AD时，三等线段共顶点，此时利用辅助圆共圆。

典型例题

如图，AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是（　　）

A．40° B．30° C．20° D．35°

【分析】

由题意可知AB＝OA＝OB＝OC三点在以O为圆心的圆上，

利用定长等线段得知，∠AOB就能算出∠ACB．

答案：B．

同类练习

1、已知：△AOB中，AB＝OB＝2，△COD中，CD＝OC＝3，∠ABO＝∠DCO．连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点．

（1）如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO＝60°，则△PMN的形状是　　，

此时AD/BC＝　　；

（2）如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO＝2α，证明△PMN∽△BAO，并计算AD/BC的值（用含α的式子表示）；

答案：

思路提示，利用等线段共顶点辅助圆可以得出B，C，N，M四点都在以P为圆心，PM为半径的圆上，压轴结果可以秒杀。

结果为：2sina

2．如图OA＝OB＝OC且∠ACB＝30°，则∠AOB的大小是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

【分析】

由OA＝OB＝OC，得到以O为圆心，OA为半径的圆经过A，B，C，如图所示，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍即可求出∠AOB的度数．利用等线段共顶点辅助圆思想

故选：C．

【点评】

此题考查了圆周角定理，根据题意作出相应的圆O是解本题的关键．

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